Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 76527 (#1)

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
Темы:	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В шахматном турнире участвовали два ученика 7 класса и некоторое число учеников 8 класса. Два семиклассника набрали 8 очков, а каждый из восьмиклассников набрал одно и то же число очков. Сколько восьмиклассников участвовало в турнире? (Каждый из участников турнира играет с каждым из остальных по одной партии. За выигрыш даётся 1 очко, за ничью – ½ очка, за проигрыш – 0 очков.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 76528 (#2)

Тема:

[

Разложение на множители

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что выражение x⁵ + 3x⁴y – 5x³y² – 15x²y³ + 4xy⁴ + 12y⁵ не равно 33 ни при каких целых значениях x и y.

Прислать комментарий

Решение

Задача 76529 (#3)

Тема:

[

Угол (экстремальные свойства)

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На сторонах угла AOB от вершины O отложены отрезки OA и OB, причем OA > OB. На отрезке OA взята точка M, на продолжении отрезка OB — точка N так, что AM = BN = x. Найти значение x, при котором отрезок MN имеет наименьшую длину.

Прислать комментарий Решение

Задача 76530 (#4)

Тема:

[

Геометрические неравенства (прочее)

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Из тридцати пунктов A₁, A₂, ..., A₃₀, расположенных на прямой MN на равных расстояниях друг от друга, выходят тридцать прямых дорог. Эти дороги располагаются по одну сторону от прямой MN и образуют с MN следующие углы:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$\displaystyle \alpha$	60^o	30^o	15^o	20^o	155^o	45^o	10^o	35^o	140^o	50^o	125^o	65^o	85^o	86^o	80^o
	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
$\displaystyle \alpha$	75^o	78^o	115^o	95^o	25^o	28^o	158^o	30^o	25^o	5^o	15^o	160^o	170^o	20^o	158^o

Из всех тридцати пунктов выезжают одновременно тридцать автомобилей, едущих, никуда не сворачивая, по этим дорогам с одинаковой скоростью. На каждом из перекрёстков установлено по шлагбауму. Как только первая по времени машина проезжает перекрёсток, шлагбаум закрывается и преграждает путь всем следующим машинам, попадающим на этот перекрёсток. Какие из машин проедут все перекрёстки на своём пути, а какие застрянут?

Прислать комментарий

Решение

Задача 76531 (#5)

Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Проективная плоскость с конечным числом точек	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автобусная сеть города устроена следующим образом:
1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;
2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом единственная, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;
3) на каждом маршруте ровно три остановки.
Сколько автобусных маршрутов в городе? (Известно, что их больше одного.)

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]