При каких a многочлен  P(x) = a³x⁵ + (1 – a)x⁴ + (1 + a³)x² + (1 – 3a)x – a³  делится на  x – 1?

   Решение

Докажите, что ни при каком натуральном m число  1998^m – 1  не делится на 1000^m – 1.

   Решение

Докажите, что пучок лучей света, параллельных оси параболы, после отражения от параболы сходится в ее фокусе.

   Решение

Сколько цифр имеет число 2¹⁰⁰?

   Решение

Постройте треугольник по двум углам A, B и периметру P.

   Решение

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что  S_AOB = S_COD тогда и только тогда, когда  BC || AD.

   Решение

В четырёхугольник ABCD вписан эллипс с фокусом F. Докажите, что AFB + CFD = 180^o.

   Решение

Потроить треугольник по высоте к стороне а h_a, медиане к стороне a m_a и A.

   Решение

Длины сторон параллелограмма равны a и b, длины диагоналей — m и n. Докажите, что  a⁴ + b⁴ = m²n² тогда и только тогда, когда острый угол параллелограмма равен  45^o.

   Решение

Пусть AA' и BB' — сопряженные диаметры эллипса с центром O. Докажите, что:
а) площадь треугольника AOB не зависит от выбора сопряженных диаметров;
б) величина OA²+OB² не зависит от выбора сопряженных диаметров.

   Решение

На окружности отмечено десять точек. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся девятизвенных ломаных с вершинами в этих точках?

   Решение

Двойным отношением четырёх комплесных чисел называется число     (см. задачу 61180). Пусть w₁, w₂, w₃, w₄ – четыре точки плоскости, в которые дробно-линейное отображение    переводит данные четыре точки z₁, z₂, z₃, z₄. Докажите, что
W(w₁, w₂, w₃, w₄) = W(z₁, z₂, z₃, z₄).

   Решение

На окружности даны точки A₁, A₂,..., A₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек A₁, A₂,..., A₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых A₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых A₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

Известно, что в выпуклом n-угольнике  (n > 3)  никакие три диагонали не проходят через одну точку.
Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

На окружности отмечено десять точек. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся девятизвенных ломаных с вершинами в этих точках?

Прислать комментарий

Решение

На окружности даны точки A₁, A₂,..., A₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек A₁, A₂,..., A₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых A₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых A₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дано  n > 4  точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что существует не менее    различных выпуклых четырёхугольников с вершинами в этих точках.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что число неравных треугольников с вершинами в вершинах правильного n-угольника равно ближайшему к  ^n²/₁₂  целому числу.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]