Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78536 (#1)

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
Темы:	[	Многоугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Внутри равностороннего (не обязательно правильного) семиугольника A₁A₂...A₇ взята произвольно точка O. Обозначим через H₁, H₂,..., H₇ основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны A₁A₂, A₂A₃,..., A₇A₁ соответственно. Известно, что точки H₁, H₂,..., H₇ лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях. Доказать, что A₁H₁ + A₂H₂ + ... + A₇H₇ = H₁A₂ + H₂A₃ + ... + H₇A₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 78533 (#2)

Темы:	[	Обратный ход	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В n стаканах достаточно большой вместительности налито поровну воды. Разрешается переливать из любого стакана в любой другой столько воды, сколько имеется в этом последнем. При каких n можно в конечное число шагов слить воду в один стакан?

Прислать комментарий Решение

Задача 78538 (#3)

Тема:

[

Разбиения на пары и группы; биекции

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Доказать, что любое чётное число 2n $\ge$ 0 может быть единственным образом представлено в виде 2n = (x + y)² + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные числа.

Прислать комментарий Решение

Задача 78539 (#4)

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что биссектриса угла A перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 78540 (#5)

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

На клетчатой бумаге начерчена замкнутая ломаная с вершинами в узлах сетки, все звенья которой равны.
Доказать, что число звеньев такой ломаной чётно.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]