Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1969 год
>>
9 класс, 1 тур
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
Пусть где p1, ..., ps – простые и α1, ..., αs, β1, ..., βs ≥ 0. Докажите равенства:
а)
б)
в) (a, b)[a, b] = ab.
На сколько нулей оканчивается число 100!?
Докажите, что число делится на 2k и не делится на 2k+1.
Найдите все двузначные числа, квадрат которых равен кубу суммы их цифр.
Дан треугольник ABC и такая точка F, что ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA. Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A1. Точки B1 и C1 определяются аналогично. Докажите, что A1, B1 и C1 являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.
Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.
Остров Толпыго имеет форму многоугольника. На нём расположено несколько стран, каждая из которых имеет форму треугольника, причём каждые две граничащие страны имеют целую общую сторону (т.е. вершина одного треугольника не лежит на стороне другого). Доказать, что карту этого острова можно так раскрасить тремя красками, чтобы каждая страна была закрашена одним цветом и любые две соседние страны были закрашениы в разные цвета.
Задачи Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78698 (#1) |
|
|
Найти все натуральные числа x, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа x можно вычесть одну и ту же цифру a ≠ 0 (все цифры его не меньше a) и при этом получится (x − a)².
|
|
Решение |
Задача 78699 (#2) |
|
|
Остров Толпыго имеет форму многоугольника. На нём расположено несколько стран, каждая из которых имеет форму треугольника, причём каждые две граничащие страны имеют целую общую сторону (т.е. вершина одного треугольника не лежит на стороне другого). Доказать, что карту этого острова можно так раскрасить тремя красками, чтобы каждая страна была закрашена одним цветом и любые две соседние страны были закрашениы в разные цвета.
|
|
Решение |
Задача 78700 (#3) |
|
|
Можно ли записать в строку 50 чисел так, чтобы сумма любых 17 последовательных чисел была положительна, а сумма любых 10 последовательных чисел была отрицательна?
|
|
|
Решение |
Задача 78692 (#4) |
|
|
Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.
|
|
|
Решение |
Задача 78701 (#5) |
|
|
В государстве царя Додона расположено 500 городов, каждый из которых имеет форму правильной 37-угольной звезды, в вершинах которой находятся башни. Додон решил обнести их выпуклой стеной так, чтобы каждый отрезок стены соединял две башни. Доказать, что стена будет состоять не менее чем из 37 отрезков. (Если несколько отрезков лежат на одной прямой, то они считаются за один.)
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
