Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]

Задача 78779 (#1)

Темы:	[	Пространственные многоугольники	]
	[	Сферы (прочее)	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 3
Классы: 11

Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A₁, A₂, ..., A_n, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A₁, равны между собой. То же самое верно и для вершин A₂, A₃, ..., A_{n - 1}. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине A_n, также равны между собой.

Прислать комментарий Решение

Задача 78781 (#3)

Тема:

[

Рекуррентные соотношения

]

Сложность: 3+
Классы: 11

Про последовательность x₁, x₂, ..., x_n, ... известно, что для любого n > 1 выполнено равенство 3x_n - x_{n - 1} = n. Кроме того, известно, что | x₁| < 1971. Вычислить x₁₉₇₁ с точностью до 0, 000001.

Прислать комментарий Решение

Задача 78782 (#4)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

n точек расположены в вершинах выпуклого n-угольника. Внутри этого n-угольника отметили k точек. Оказалось, что любые три из n + k точек не лежат на одной прямой и являются вершинами равнобедренного треугольника. Чему может быть равно число k?

Прислать комментарий Решение

Задача 78783 (#5)

Темы:	[	Выигрышные и проигрышные позиции	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Лежит кучка в 10 миллионов спичек. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может взять из кучки спички в количестве pⁿ, где p – простое число, n = 0, 1, 2, 3, ... (например, первый берёт 25 спичек, второй – 8, первый – 1, второй – 5, первый – 49 и т.д.). Выигрывает тот, кто берёт последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]