Каталог по источникам

Выбрано 6 задач

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и чёрного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

Решение

Докажите тождества:

а)

б)

в)

г)

д)

(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что – это количество k-элементных подмножеств в множестве из n элементов; исходя из того, что – это коэффициент при x^k у многочлена (1 + x)ⁿ; пользуясь "шахматным городом" из задачи 60395).

Решение

Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов
а) ВЕКТОР;
б) ЛИНИЯ;
в) ПАРАБОЛА;
г) БИССЕКТРИСА;
д) МАТЕМАТИКА.

Решение

У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов.
Сколькими способами это может быть сделано?

Решение

							1
						1		1
					1		1		1
				1		2		2		1
			1		3		6		3		1
		1		5		15		15		5		1
	1		8		40		60		40		8		1
1		13		104		260		260		104		13		1

Данная таблица аналогична треугольнику Паскаля и состоит из фибоначчиевых коэффициентов

определяемых равенством

а) Докажите, что фибоначчиевы коэффициенты обладают свойством симметрии

б) Найдите формулу, которая выражает коэффициент через и (аналогичную равенству б) из задачи 60413).

в) Объясните, почему все фибоначчиевы коэффициенты являются целыми числами.

Решение

Автор: Косухин О.Н.

На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)² попыток?

Решение

Задача 86123