Страница:
<< 13 14 15 16
17 18 19 >> [Всего задач: 96]
Проводится следствие по делу об украденном мустанге. Подозреваемых трое — Билл, Джо и Сэм. На суде Сэм заявил, что мустанга украл Джо. Бил и Джо тоже дали показания, но что они сказали, никто не запомнил, а все записи пропали. В ходе судебного заседания выяснилось, что мустанга украл лишь один из подсудимых, и что только он дал правдивые показания. Так кто украл мустанга?
Подсказка
Подумайте, почему Сэм не может быть вором.
Решение
Вором не может быть Сэм, потому что вор сказал правду, а Сэм, в этом случае, соврал. Вором не может быть Джо, потому что, в этом случае, Сэм сказал правду, а правду сказал только вор. Значит, вор — Билл.
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий?
Подсказка
Подумайте, может ли первый отвечающий быть рыцарем.
Решение
Предположим, что первый — рыцарь, тогда оба остальных лжецы, но тогда получается, что второй сказал правду, значит первый — лжец. Теперь второй. Предположим, что он лжец, тогда третий обязательно рыцарь, и получается, что второй сказал правду. Значит второй — рыцарь. А это, в свою очередь, означает, что третий — тоже рыцарь, и он сказал «Один».
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 6,7,8
|
Расшифруйте ребус. Все цифры, обозначенные буквой Ч, — четные (не обязательно равные); все цифры, обозначенные буквой Н, — нечетные (тоже не обязательно равные).
Подсказка
Почему первая цифра второго сомножителя не может быть равна 1? Почему она не может быть больше 3?
Решение
Для удобства дальнейших рассуждений заменим все четные числа гласными буквами, а нечетные согласными, имея при этом в виду, что разным буквам может соответствовать одна и та же цифра. Букву О не будем при этом употреблять, чтобы не путать ее с нулем. Наш ребус примет вид как на рисунке. В дальнейшем будем пользоваться четностью гласных букв и нечетностью согласных, не оговаривая этою специально.
С > 1 (при С = 1 числа АЕВ и УНК равнялись бы между собой, а это невозможно, так как в одном вторая цифра четная, в другом — нечетная). С = 3, А = 2 (при С > 3 или А > 2 произведение АЕВ х С будет четырехзначным числом). I = 2 (при А = 2, I не может быть больше 2). Отсюда следует, что D = 9 (при меньшем значении D выражение АЕВ x D будет меньше 2100, а IFUG > 2100, поскольку F соответствует нечетному числу, значит, не равна 0).
Y = 8 (иначе все произведение не будет пятизначным числом). Е = 8 (если Е < 8, то YНК < 810). F = 5 (при изменении В от 1 до 9 число IFUG будет меняться от 2529 до 2601), отсюда следует, что В < 9. Н = 5 (при изменении В от 1 до 7 число YНК будет меняться от 843 до 861). К = 5 (иначе число 85К не будет делиться на 3). Теперь можно восстановить весь пример (смотри рис.).
|
[Деревья в усадьбе]
|
|
Сложность: 3
Классы: 6,7
|
В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями – елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного – одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного – тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берёз посажено вокруг дома?
Подсказка
Заметьте, что услови наложено на деревья одной "чётности".
Решение
Уберём мысленно половину деревьев, посаженных через одно, так, чтобы в другой половине было хвойное дерево. Тогда останется 48 деревьев, а условие станет таким: из двух деревьев, растущих рядом с хвойным, – одно хвойное, а другое берёза, и из двух деревьев, растущих через одно от хвойного, – тоже одно хвойное, а другое берёза.
Рассмотрим одно из посаженных хвойных деревьев. Назовём его деревом 1 и занумеруем все деревья по порядку. Если дерево 1 хвойное, то из деревьев 48 и 2 – одно хвойное, другое – берёза. Будем для определенности считать, что дерево 2 – берёза, а 48 – хвойное. Рассмотрим дерево 48. Рядом с ним – дерево 1 (хвойное) и 47 (значит, 47 – берёза). Через одно дерево от 1 – 47 (берёза) и 3 (значит, 3 – хвойное). У дерева 3 два соседа – 2 (берёза) и 4 (хвойное). Теперь ясно, что все время повторяется группа из трёх деревьев – БХХ – берёза и два хвойных. Всего деревьев 48, значит, эта группа повторится 16 раз.
Аналогично вычисляется число берёз в оставшейся половине деревьев – если среди них есть хотя бы одно хвойное, то берёз тоже 16; если хвойных среди них нет, то условие задачи не нарушается, а берёз в этой половине 48. Итак, вокруг замка посажено либо 16+16=32 берёзы, либо 16+48=64 берёзы.
Ответ
32 берёзы или 64 берёзы.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 6,7,8
|
На столе лежит куча из 637 ракушек. Из неё убирают одну ракушку и кучу делят на две (не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше одной ракушки, снова убирают одну ракушку и снова кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трёх ракушек?
Подсказка
Каждый раз после изъятия камушка и раздвоения кучки число камушков на 1 уменьшается, а число кучек на 1 увеличивается.
Решение
После каждой процедуры (изъятия камушка и раздвоения кучки) число ракушек на 1 уменьшается, а число кучек на 1 увеличивается. Поскольку первоначально ракушек было 637, а кучек – одна, то после n процедур ракушек окажется (637 − n), а кучек станет (n + 1). В задаче требуется, чтобы выполнялось равенство 637 − n = 3(n + 1), или 634 = 4n, что невозможно, поскольку правая часть уравнения кратна 4.
Страница:
<< 13 14 15 16
17 18 19 >> [Всего задач: 96]
Фильтр
