Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
4 турнир (1982/1983 год)
>>
второй тур, 7-8 класс
Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
Рассмотрим шахматную доску n×n. Требуется провести ладью из левого нижнего угла в правый верхний. Двигаться можно только вверх и вправо, не заходя при этом на клетки главной диагонали и ниже нее. (Ладья оказывается на главной диагонали только в начальный и в конечный моменты времени.) Сколько у ладьи существует таких маршрутов?
В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из четырёх человек, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать?
Докажите справедливость формулы
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты
точки A1, B1 и C1, причем
AC1 = AB1, BA1 = BC1 и CA1 = CB1.
Докажите, что A1, B1 и C1 — точки касания вписанной
окружности со сторонами.
Сколькими способами можно разбить 10 человек на две баскетбольные команды по 5 человек в каждой?
Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными
номерами F-1, F-2, ..., F-n,...?
На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC выбрана точка K так, что AB = AK. Отрезок AK пересекает биссектрису CL в её середине.
Найдите острые углы треугольника ABC.
Тождество Кассини. Докажите равенство
Будет ли тождество Кассини справедливо для всех целых n?
Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку, – со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон?
а) В магазине "Все для чая" есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?
б) В магазине есть еще 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?
в) В магазине по-прежнему продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?
В городе Ленинграде живет более 5 миллионов человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое число волос на голове, если известно, что у любого человека на голове менее миллиона волос.
Верно ли, что два графа изоморфны, если
а) у них по 10 вершин, степень каждой из которых равна 9?
б) у них по 8 вершин, степень каждой из которых равна 3?
в) они связны, без циклов и содержат по 6 рёбер?
а) В Стране Чудес есть три города A, B и C. Из города A в город B ведет 6 дорог, а из города B в город C – 4 дороги.
Сколькими cпособами можно проехать от A до C?
б) В Стране Чудес построили еще один город D и несколько новых дорог – две из A в D и две из D в C.
Сколькими способами можно теперь добраться из города A в город C?
Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.
В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка K. В треугольники ABK и ACK вписаны окружности, первая касается стороны BC в точке M, вторая – в точке N. Докажите, что BM·CN > KM·KN.
Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр.
Доказать, что
а) сумма цифр числа 2M равна сумме цифр числа 2K;
б) сумма цифр числа M/2 равна сумме цифр числа K/2 (если M и K чётны);
в) сумма цифр числа 5M равна сумме цифр числа 5K.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Задача 97795 (#1) |
|
|
Пешеход шёл 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он
проходил ровно 5 км.
Следует ли из этого, что его средняя скорость за всё время равна 5 км/час?
|
|
Решение |
Задача 97796 (#2) |
|
|
Правильный 4k-угольник разрезан на параллелограммы. Доказать, что среди них не менее k прямоугольников. Найти их общую площадь, если длина стороны 4k-угольника равна a.
|
|
|
Решение |
Задача 97804 (#3) |
|
|
В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги
сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над
другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение
таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться.
Доказать, что
а) волшебник может это сделать;
б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и
найдётся город, из которого нельзя выехать;
в) существует единственный путь, обходящий все города;
г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.
|
|
|
Решение |
Задача 97800 (#4) |
|
|
Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр.
Доказать, что
а) сумма цифр числа 2M равна сумме цифр числа 2K;
б) сумма цифр числа M/2 равна сумме цифр числа K/2 (если M и K чётны);
в) сумма цифр числа 5M равна сумме цифр числа 5K.
|
|
Решение |
Задача 97805 (#4) |
|
|
а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх
красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а
второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?
б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
