Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$. Точка $A_1$, лежащая на дуге $BC$ описанной около треугольника окружности $\omega$, удовлетворяет условию $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$. Точки $B_1$ и $C_1$ определены аналогично. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

При каких значениях a и b возможно равенство

   Решение

---

Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
    1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
    2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
  а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
  б) Докажите, что если ABCD – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98003  (#М1186)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Параллелограммы (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
    1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
    2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
  а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
  б) Докажите, что если ABCD – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98004  (#М1187)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что если K чётно, то числа от 1 до  K – 1  можно выписать в таком порядке, что сумма никаких нескольких подряд стоящих чисел не будет делиться на K.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98015  (#М1189)

Темы:   [ Плоскость, разрезанная прямыми ] [ Раскраски ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На плоскости дано N прямых  (N > 1),  никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие N, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98006  (#М1190)

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

а) Докажите, что если в 3n клетках таблицы 2n×2n расставлены 3n звёздочек, то можно вычеркнуть n столбцов и n строк так, что все звёздочки будут вычеркнуты.
б) Докажите, что в таблице 2n×2n можно расставить  3n + 1  звёздочку так, что при вычеркивании любых n строк и любых n столбцов остаётся невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями