Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 98035 (#1)

Темы:	[	Площадь сечения	]
	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Фольклор

Можно ли так выбрать шар, треугольную пирамиду и плоскость, чтобы всякая плоскость, параллельная выбранной, пересекала шар и пирамиду по фигурам равной площади?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98036 (#2)

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Задачи с ограничениями	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества {1, 2, 3, ..., n}, не содержащие двух соседних чисел.
Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна (n + 1)! – 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98037 (#3)

Темы:	[	Площади криволинейных фигур	]
	[	Вычисление площадей	]
	[	Вычисление производной	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Фольклор

Внутри круга радиуса R взята точка A. Через неё проведены две перпендикулярные прямые. Потом прямые повернули на угол φ относительно точки A. Хорды, высекаемые окружностью из этих прямых, замели при повороте фигуру, имеющую форму креста с центром в точке A. Найдите площадь креста.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98038 (#4)

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Ряды с неотрицательными членами	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Толпыго А.К.

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями d₁, d₂, d₃, ... . Может ли случиться, что при этом сумма ¹/_d₁ + ¹/_d₂ + ... + ¹/_{d_k} не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
а) общее число прогрессий конечно;
б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).

Прислать комментарий

Решение

Задача 98039 (#5)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Барицентрические координаты	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Фомин Д.

Отмечено 100 точек – N вершин выпуклого N-угольника и 100 – N точек внутри этого N-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами N-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника XYZ (X, Y, Z – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами N-угольника, и чтобы найти его площадь.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]