Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Можно ли расставить на листе клетчатой бумаги крестики и нолики так, чтобы ни на одной горизонтали, вертикали и диагонали нельзя было встретить три одинаковых знака подряд?
На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.
Из шахматной доски $8\times8$ вырезали 10 клеток. Известно, что среди вырезанных клеток есть как черные, так и белые. Какое наибольшее количество двухклеточных прямоугольников можно после этого гарантированно вырезать из этой доски?
Ищутся такие натуральные числа, оканчивающиеся на 5, что в их десятичной записи цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают.
а) Найдите четыре таких числа.
б) Докажите, что таких чисел бесконечно много.
На двух сторонах AB и BC правильного 2n-угольника взято по точке K и N, причём угол KEN, где E – вершина, противоположная B, равен 180°/2n. Докажите, что NE – биссектриса угла KNC.
Найдите ГМТ X, из которых можно провести
касательные к данной дуге AB окружности.
Пусть O — центр правильного треугольника ABC.
Найдите ГМТ M, удовлетворяющих следующему условию:
любая прямая, проведенная через точку M, пересекает либо
отрезок AB, либо отрезок CO.
В маленьком зоопарке из клетки убежала обезьяна. Её ловят два сторожа. И сторожа, и обезьяна бегают только по дорожкам. Всего в зоопарке шесть прямолинейных дорожек: три длинные образуют правильный треугольник, три короткие соединяют середины его сторон. В каждый момент времени обезьяна и сторожа видят друг друга. Смогут ли сторожа поймать обезьяну, если обезьяна бегает в 3 раза быстрее сторожей? (Вначале оба сторожа находятся в одной вершине треугольника, а обезьяна в другой.)
Через точку M пересечения медиан треугольника ABC проведена
прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A1,
B1 и C1. Докажите, что
(1/) + (1/
) + (1/
) = 0 (отрезки MA1, MB1 и MC1 считаются
ориентированными).
Круг поделили хордой AB на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки A. При этом повороте точка B перешла в точку D (см. рис.).
Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу.
Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то сумма больше 4.
Задачи Страница: 1 [Всего задач: 2]
Задача 98061 (#М1281) |
|
|
Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то сумма больше 4.
|
|
Решение |
Задача 108570 (#М1284) |
|
На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника ABC, опущенной на его боковую сторону.
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 2]
