Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 100]

Задача 57489 (#10.078)

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 4+
Классы: 8

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Докажите, что периметр треугольника A₁B₁C₁ не превосходит половины периметра треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 57490 (#10.078.1)

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 5
Классы: 8

Пусть $\angle$ A < $\angle$ B < $\angle$ C < 90^o. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника BOH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

Прислать комментарий Решение

Задача 57491 (#10.079)

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 5+
Классы: 8

Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R $\leq$ h.

Прислать комментарий Решение

Задача 57492 (#10.080)

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 6
Классы: 8

На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что

2(B₁C₁cos $\displaystyle \alpha$ + C₁A₁cos $\displaystyle \beta$ + A₁B₁cos $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \geq$ a cos $\displaystyle \alpha$ + b cos $\displaystyle \beta$ + c cos $\displaystyle \gamma$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 57493 (#10.081)

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 4+
Классы: 8

Докажите, что треугольник со сторонами a, b и c остроугольный тогда и только тогда, когда a² + b² + c² > 8R².

Прислать комментарий Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 100]