Страница:
<< 3 4 5 6 7
8 9 >> [Всего задач: 42]
Задача
58348
(#28.029)
[Теорема Фейербаха]
|
|
Сложность: 7 Классы: 9,10,11
|
а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон
треугольника, касается его вписанной и трех
вневписанных окружностей (Фейербах).
б) На сторонах
AB и
AC треугольника
ABC взяты точки
C1 и
B1 так, что
AC1 =
B1C1 и вписанная окружность
S треугольника
ABC является
вневписанной окружностью треугольника
AB1C1. Докажите, что вписанная
окружность треугольника
AB1C1 касается окружности, проходящей через
середины сторон треугольника
ABC.
Задача
58349
(#28.030)
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10
|
Даны четыре окружности, причем окружности
S1
и
S3 пересекаются с обеими окружностями
S2 и
S4. Докажите,
что если точки пересечения
S1 с
S2 и
S3 с
S4 лежат на одной
окружности или прямой, то и точки пересечения
S1 с
S4 и
S2
с
S3 лежат на одной окружности или прямой (рис.).
Задача
58350
(#28.031)
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Даны четыре окружности
S1,
S2,
S3,
S4. Пусть
S1
и
S2 пересекаются в точках
A1 и
A2,
S2 и
S3 —
в точках
B1 и
B2,
S3 и
S4 — в точках
C1 и
C2,
S4 и
S1 — в точках
D1 и
D2 (рис.). Докажите, что
если точки
A1,
B1,
C1,
D1 лежат на одной окружности
S
(или прямой), то и точки
A2,
B2,
C2,
D2
лежат на одной окружности (или прямой).
Задача
58351
(#28.032)
|
|
Сложность: 6 Классы: 9,10,11
|
Стороны выпуклого пятиугольника
ABCDE продолжили так,
что образовалась пятиконечная звезда
AHBKCLDMEN (рис.).
Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите,
что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от
A,
B,
C,
D,
E, лежат на одной окружности.
Задача
58352
(#28.033)
|
|
Сложность: 6 Классы: 9,10
|
На плоскости взяты шесть точек
A1,
A2,
A3,
B1,
B2,
B3.
Докажите, что если описанные окружности треугольников
A1A2B3,
A1B2A3 и
B1A2A3 проходят через одну точку, то и описанные
окружности треугольников
B1B2A3,
B1A2B3 и
A1B2B3
пересекаются в одной точке.
Страница:
<< 3 4 5 6 7
8 9 >> [Всего задач: 42]