Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 173]

Задача 60599 (#03.147)

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Алгоритм Евклида	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Для каждого натурального n приведите пример прямоугольника, который разрезался бы ровно на n квадратов, среди которых должно быть не более двух одинаковых.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60600 (#03.148)

[Цепные дроби и электрические цепи]

Тема:

[

Цепные (непрерывные) дроби

]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Для данного рационального числа ^a/_b постройте электрическую цепь из единичных сопротивлений, общее сопротивление которой равнялось бы ^a/_b. Как такую цепь можно получить при помощи разбиения прямоугольника a×b на квадраты из задачи 60598?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60601 (#03.149)

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть a₀ – целое, a₁, ..., a_n – натуральные числа. Определим две последовательности
P_–1 = 1, P₀ = a₀, P_k = a_kP_k–1 + P_k–2 (1 ≤ k ≤ n); Q_–1 = 0, Q₀ = 1, Q_k = a_kQ_k–1 + Q_k–2 (1 ≤ k ≤ n).
Дроби ^P_k/_{Q_k} называются подходящими дробями к числу [a₀; a₁, a₂, ..., a_n].
Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
а) ^P_k/_{Q_k} = [a₀; a₁, a₂,..., a_k];
б) P_kQ_k–1 – P_k–1Q_k = (–1)^k+1;
в) (P_k, Q_k) = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60602 (#03.150)

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите следующие свойства подходящих дробей:
а) P_kQ_k–2 – P_k–2Q_k = (–1)^ka_k (k ≥ 2);
б) – = (k ≥ 1);
в) Q₁ < Q₂ < ... < Q_n;
г) < < < ... ≤ ≤ ... < < < ;

д)

(k, l ≥ 0).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60603 (#03.151)

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
Темы:	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть числа a и b определены равенством ^a/_b = [a₀; a₁, a₂, ..., a_n]. Докажите, что уравнение ax – by = 1 c неизвестными x и y имеет решением одну из пар (Q_n–1, P_n–1) или (– Q_n–1, – P_n–1), где ^P_n–1/_{Q_n–1} – (n–1)-я подходящая дробь. От чего зависит, какая именно из пар является решением?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 173]