ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 173]      



Задача 60488  (#3.36-3.37)

 [Алгоритм Евклида]
Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Алгоритм Евклида ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

  а) Пусть m0 и m1 – целые числа,  0 < m1m0.  Докажите, что при некотором  k > 1  существуют такие целые числа a0, a1, ..., ak и m2, ..., mk, что
m1 > m2 > m3 > ... > mk > 0,  ak > 1,
  m0 = m1a0 + m2,
  m1 = m2a1 + m3,
  m2 = m3a2 + m4,
    ...
  mk–2 = mk–1ak–1 + mk,
  mk–1 = mkak,
и  (m0, m1) = mk.

  б) Докажите, что для любого s от  k – 1  до 0 существуют такие числа us, vs, что   msus + ms+1vs = d,   где  d = (m0, m1).
  В частности, для некоторых u и v выполняется равенство  m0u + m1v = d.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60489  (#03.037)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

a, b, c – целые числа; a и b отличны от нуля.
Докажите, что уравнение  ax + by = c  имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда c делится на  d = НОД(a, b).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60490  (#03.038)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Алгоритм Евклида ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пусть  (a, b) = 1  и  a | bc.  Докажите, что  a | c.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60491  (#03.039)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Алгоритм Евклида ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите    ( , ).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60492  (#03.040)

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель чисел a и b, если известно, что  ab = 600?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 173]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .