Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 100]

Задача 61448 (#11.021)

[Интерполяционная формула Ньютона]

Темы:	[	Интерполяционный многочлен Ньютона	]
Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

а) Докажите, что для любого многочлена f(x) степени n существует единственное представление его в виде

Биномиальный коэффициент

интерпретируется как многочлен от переменной x. В частности, нижний индекс у биномиального коэффициента может быть любым действительным числом.

б) Докажите, что коэффициенты d₀, d₁, ..., d_n в этом представлении вычисляются по формуле d_k = Δ^kf(0) (0 ≤ k ≤ n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61449 (#11.022)

[Целозначные многочлены]

Темы:	[	Интерполяционный многочлен Ньютона	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть многочлен f(x) степени n принимает целые значения в точках x = 0, 1, ..., n.
Докажите, что где d₀, d₁, ..., d_n – некоторые целые числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61450 (#11.023)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Для многочлена f(x) = x³ – x найдите Δ²f(x).
Объясните, не применяя соображения делимости, почему f(x) делится на 6 при всех целых x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61451 (#11.024)

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Интерполяционный многочлен Ньютона	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что если многочлен f(x) степени n принимает целые значения в точках x = 0, 1, ..., n, то он принимает целые значения во всех целых точках.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61452 (#11.025)

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

а) Пусть q – натуральное число и функция f(x) = cq^x + a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ принимает целые значения при x = 0, 1, 2, ..., n + 1.
Докажите, что при любом натуральном x число f(x) также будет целым.
б) Пусть выполняются условия пункта а) и f(x) делится на некоторое целое m ≥ 1 при x = 0, 1, 2, ..., n + 1. Докажите, что f(x) делится на m при всех натуральных x.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 100]