Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 7526]

Задача 53196

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 2-
Классы: 8,9

В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании $\alpha$ . Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причём точка касания является серединой основания. Найдите радиус второй окружности. Если решение не единственное, рассмотрите все случаи.

Подсказка

Диаметр одной из искомых окружностей — высота данного треугольника, а другой — разность между диаметром описанной окружности и диаметром первой искомой окружности.

Решение

Пусть CK — диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC (AC = BC, AB = a, $\angle$ A = $\angle$ B = $\alpha$ ). Тогда середина M основания AB принадлежит этому диаметру, а CM и MK — диаметры искомых окружностей.

Пусть r и x — радиусы искомых окружностей. Тогда

r = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AM^.tg $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{a}{4}}$ tg $\displaystyle \alpha$ ,

x = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ MK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AM^.ctg $\displaystyle \angle$ AKM = $\displaystyle {\frac{a}{4}}$ ctg $\displaystyle \alpha$ .

Прислать комментарий

Задача 55374

Темы:	[	Пятиугольники	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 2-
Классы: 8,9

В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P, Q сторон AB, CD и середины S, T сторон BC, DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть M и N – середины отрезков PQ и ST. Найдите длину отрезка MN.

Решение

См. задачу 55355 .

Ответ

1/4.

Прислать комментарий

Задача 55433

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (прочее)	]

Сложность: 2-
Классы: 8,9

Две окружности с центрами M и N, лежащими на стороне AB треугольника ABC, касаются друг друга и пересекают стороны AC и BC в точках A, P и B, Q соответственно. Причем AM = PM = 2, BN = = QN = 5. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если известно, что отношение площади треугольника AQN к площади треугольника MPB равно 15 $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ )/(5 $\sqrt{3}$ ).

Решение

См. данную задачу.

Прислать комментарий

Задача 53616

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]

Сложность: 2-
Классы: 8,9

В треугольник ABC со сторонами AB = 5, BC = 7, CA = 10 вписана окружность. Прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и K, касается этой окружности. Найдите периметр треугольника MBK.

Решение

Аналогично задаче 52710 докажем, что искомый периметр в два раза больше отрезка между вершиной B и точкой касания вписанной окружности со стороной AB, то есть равен 5 + 7 – 10 (см. задачу 55404).

Ответ

Прислать комментарий

Задача 54775

Тема:

[

Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы.

]

Сложность: 2-
Классы: 6,7

Один из четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых, равен 41°. Чему равны три остальных угла?

Ответ

41°, 139°, 139°.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 7526]