ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 48]      



Задача 64351  (#9.8)

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков    (повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток.
Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64358  (#10.8)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Инварианты ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

На плоскости нарисован квадрат, стороны которого горизонтальны и вертикальны. В нём проведены несколько отрезков, параллельных сторонам, причём никакие два отрезка не лежат на одной прямой и не пересекаются по точке, внутренней для обоих отрезков. Оказалось, что отрезки разбили квадрат на прямоугольники, причём каждая вертикальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения, пересекает ровно k прямоугольников разбиения, а каждая горизонтальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения – ровно l прямоугольников. Каким могло оказаться количество прямоугольников разбиения?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64366  (#11.8)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Ильясов С.

В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .