ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



Задача 65073

Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65076

Темы:   [ Средние величины ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Занумеруем все простые числа в порядке возрастания:  p1 = 2,  p2 = 3,  ... .
Может ли среднее арифметическое     при каком-нибудь  n ≥ 2  быть простым числом?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65074

Темы:   [ Доказательство от противного ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Храмцов Д.

При каком наибольшем n можно раскрасить числа 1, 2, ..., 14 в красный и синий цвета так, чтобы для каждого числа  k = 1, 2, ..., n  нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна k, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна k?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65075

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Биссектрисы углов A и C трапеции ABCD пересекаются в точке P, а биссектрисы углов B и D – в точке Q, отличной от P.
Докажите, что если отрезок PQ параллелен основанию AD, то трапеция равнобокая.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65077

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Теория графов (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В Швамбрании некоторые города связаны двусторонними беспосадочными авиарейсами. Рейсы разделены между тремя авиакомпаниями, причём если какая-то авиакомпания обслуживает линию между городами А и Б, то самолёты других компаний между этими городами не летают. Известно, что из каждого города летают самолёты всех трёх компаний. Докажите, что можно, вылетев из некоторого города, вернуться в него, воспользовавшись по пути рейсами всех трёх компаний и не побывав ни в одном из промежуточных городов дважды.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .