Страница:
<< 1347 1348 1349 1350
1351 1352 1353 >> [Всего задач: 21756]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
Высота конуса равна 20, радиус основания равен 25. Найдите
площадь сечения, проведённого через вершину, если его расстояние от
центра основания конуса равно 12.
Решение
Пусть
A – вершина конуса,
O – центр основания,
BC –
хорда, по которой секущая плоскость пересекает основание
конуса,
M – середина
BC ,
OK – высота треугольника
AOM . Так как
BC 
OM и
BC AO , то
BC – перпендикуляр к плоскости
AOM .
Поэтому
AM BC и
OK BC . Таким образом, прямая
OK перпендикулярна
двум пересекающимся прямым
BC и
AM плоскости сечения. Значит,
OK –
перпендикуляр к плоскости сечения. По условию задачи
OK = 12
.
Обозначим
OAM = KOM = α . Тогда
sin α = 
= 
= 
, cos α = 
,
AM = 
= 
= 25,
OM = 
= 
= 15.
Из прямоугольного треугольника
BOM находим, что
BM = 
= 
= 
= 20.
Следовательно,
SΔ ABC = 
BC· AM = BM· AM = 20· 25 = 500.
Ответ
500.00
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объёма,
вписанного в конус, радиус основания которого равен 3.
Ответ
2.
Обозначим через
h и
r высоту и радиус основания цилиндра,
вписанного в конус с вершиной
A (рис.1). Рассмотрим осевое сечение
конуса – равнобедренный треугольник
ABC с высотой
AO = H и
основанием
BC = 2
· 3
= 6
(рис.2). Плоскость
ABC пересекает цилиндр,
вписанный в конус, по его осевому сечению – прямоугольнику
KLMN ,
где точки
K и
L лежат соответственно на отрезках
AB и
AC , а
точки
M и
N – на отрезке
BC , причём
KL = 2
r ,
KN = LM = h .
Пусть
P – точка пересечения
AO и
KL . Треугольник
APL подобен
треугольнику
AOC , поэтому
= 
, или 
= 
,
откуда
h = H(1
- )
.
Пусть
V(
r)
– объём цилиндра, где
0
< r < 3
. Тогда
V(r) = π r2h = π Hr2(1 - ) =
π H(r2 - 
).
Найдём наибольшее значение функции
V(
r)
на промежутке
(0
;3)
.
V'(r) = π H(2r - r2) = π Hr(2 - r).
Промежутку
(0
;3)
принадлежит единственный корень (
r = 2
)
полученного уравнения. Если
0
< r < 2
, то
V'(
r)
> 0
. Поэтому на
промежутке
(0
;2)
функция
V(
r)
возрастает. Если
2
< r < 3
, то
V'(
r)
< 0
. Поэтому на промежутке
(2
;3)
функция
V(
r)
убывает.
Значит, в точке
r = 2
функция
V(
r)
имеет максимум. Следовательно,
радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в данный
конус, равен 2.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
Из куска металла, имеющего форму треугольной пирамиды, боковые
грани которой образуют равные двугранные углы с плоскостью
основания, а высота проходит внутри пирамиды, выточен
конус максимального объёма с той же вершиной. Найдите объём
сточенного металла, если стороны основания пирамиды равны 13, 14
и 15, а высота равна 24.
Решение
Так как боковые грани данной пирамиды с вершиной
D образуют
равные двугранные углы с плоскостью основания, а высота
DO проходит
внутри пирамиды, то точка
O – центр окружности, вписанной в
треугольник основания. Ясно, что окружность основания конуса
наибольшего объёма с вершиной
D , расположенного внутри пирамиды, –
это окружность, вписанная в треугольник
ABC основания.
Пусть
r – радиус этой окружности,
p – полупериметр треугольника,
S
– его площадь,
V1
– объём конуса,
V – объём пирамиды. Тогда
p = 
= 21,
S = 
= 
=
7· 3· 4 = 84,
r = 
= 
= 4,
V = 
S· OD = · 84· 24 = 84· 8 = 672,
V1 = π r2· OD = · 16· 24π =
16· 8π = 128π.
Следовательно,
V - V1 = 672 - 128π = 32(21 - 4π).
Ответ
32(21
- 4
π)
.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью,
перпендикулярной основанию и делящей две стороны основания пополам.
Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно,
что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.
Решение
Пусть указанная плоскость проходит через середины
M и
N сторон
AB и
AC основания
ABC правильной треугольниой пирамиды
DABC и
пересекает боковое ребро
AD в точке
P , а медиану
AF
равностороннего треугольника
ABC – в точке
K . Плоскость
треугольника
ADF проходит через перпендикуляр
DO (высоту пирамиды)
к плоскости основания
ABC . Поэтому плоскость
ADF перпендикулярна
плоскости основания пирамиды. Секущая плоскость также
перпендикулярна плоскости основания пирамиды (по условию) и
пересекается с плоскостью
ADF по прямой
PK . Значит, прямая
PK
перпендикулярна плоскости основания пирамиды и
KP || DO . Далее
имеем:
AK = 
AF, AO = 
AF,
= 
= 
,
KP = 
= 
= 3,
MN = BC = 1,
а т.к.
KP – высота треугольника
MPN , то
SΔ MPN = MN· KP =
· 1· 3 = 
.
Ответ
1
.5
.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
В основании пирамиды лежит квадрат со стороной
a = 
.
Высота пирамиды проходит через середину одного из рёбер
основания и равна
. Найдите радиус шара,
описанного около пирамиды.
Решение
Пусть
PABCD – четырёхугольная пирамида, основание которой –
квадрат
ABCD со стороной
a , а высота
PM проходит через середину
M ребра
AB ,
PM = ,
Q – центр квадрата
ABCD ,
O – центр описанной сферы,
R – радиус этой сферы.
Точка
O равноудалена от вершин квадрата
ABCD , значит, она
лежит на перпендикуляре к плоскости основания пирамиды, проходящем
через центр
Q квадрата. С другой стороны, точка
O равноудалена от
вершин треугольника
APB , значит, она лежит на перпендикуляре к
плоскости
APB , проходящем через центр
O1
описанной окружности
треугольника
APB . Пусть
r – радиус этой окружности. Так как
tg 
PAB = 
=
= 
,
то
PBA = PAB = 60
o , значит, треугольник
APB –
равносторонний, поэтому
r = O1P = 
, O1M = 
.
Прямые
OQ и
PM параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же
плоскости. Аналогично,
OO1
|| QM . Значит,
OQ = O1M = .
Из прямоугольного треугольника
BQO находим, что
R = OB = 
= 
= 
= · 
= 
.
Ответ
3
.5
.
Страница:
<< 1347 1348 1349 1350
1351 1352 1353 >> [Всего задач: 21756]
Фильтр
