Решить уравнение:

   Решение

На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A₁, A₂, ..., A₁₀, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A₁, A₂, ..., A₉, а десятый сидит на дуге A₉A₁₀A₁. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A₁₀?

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 [Всего задач: 59]      

Окружность разбита точками A₁, A₂,..., A_n на n равных дуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дуги A₂A₆ и A₆A₁₀ одинаково окрашены.)

Докажите, что если для каждой точки разбиения A_k можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом A_k, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай, когда красок всего две, скажем красная и чёрная.

Прислать комментарий

Решение

В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 [Всего задач: 59]