Страница:
<< 66 67 68 69
70 71 72 >> [Всего задач: 1027]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Каждый из трёх синих квадратов на плоскости пересекается с каждым из трёх красных.
Верно ли, что какие-то два одноцветных квадрата тоже пересекаются?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Любой ли трехгранный угол можно так пересечь плоскостью, что в
сечении получится правильный треугольник?
|
[Дружественные числа]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если σ(m) – m = n и σ(n) – n = m.
Докажите, что если все три числа p = 3·2k–1 – 1, q = 3·2k – 1 и r = 9·22k–1 – 1 – простые, то числа m = 2kpq и n = 2kr – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.
Существует ли пятиугольник, который одним прямолинейным разрезом можно разбить на три части так, что из двух частей можно будет сложить третью?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
На острове 100 рыцарей и 100 лжецов. У каждого из них есть хотя бы один друг. Однажды ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – рыцари", и ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – лжецы". Каково наименьшее возможное количество пар друзей, один из которых рыцарь, а другой лжец?
Страница:
<< 66 67 68 69
70 71 72 >> [Всего задач: 1027]
Фильтр
