Страница:
<< 69 70 71 72
73 74 75 >> [Всего задач: 1050]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Четыре села находятся в вершинах квадрата со стороной 1 км. Для того, чтобы можно было проехать из каждого села в каждое, проложили две прямолинейные дороги вдоль диагоналей данного квадрата. Можно ли проложить сеть дорог между селами иным образом так, чтобы их суммарная длина уменьшилась, но по-прежнему из каждого села можно было проехать в каждое?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Каждый из трёх синих квадратов на плоскости пересекается с каждым из трёх красных.
Верно ли, что какие-то два одноцветных квадрата тоже пересекаются?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Любой ли трехгранный угол можно так пересечь плоскостью, что в
сечении получится правильный треугольник?
|
[Дружественные числа]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если σ(m) – m = n и σ(n) – n = m.
Докажите, что если все три числа p = 3·2k–1 – 1, q = 3·2k – 1 и r = 9·22k–1 – 1 – простые, то числа m = 2kpq и n = 2kr – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.
Существует ли пятиугольник, который одним прямолинейным разрезом можно разбить на три части так, что из двух частей можно будет сложить третью?
Страница:
<< 69 70 71 72
73 74 75 >> [Всего задач: 1050]
Фильтр
