Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан многочлен  f(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx.  Известно, что каждое из уравнений  f(x) = 1  и  f(x) = 2  имеет четыре корня. Докажите, что если для корней первого уравнения выполняется равенство  x₁ + x₂ = x₃ + x₄,  то и для корней второго уравнения выполняется аналогичное равенство.

   Решение

---

На экране компьютера – число 12. Каждую секунду число на экране умножают или делят либо на 2, либо на 3. Результат действия возникает на экране вместо записанного числа. Ровно через минуту на экране появилось число. Могло ли это быть число 54?

   Решение

---

На карусели с n сиденьями мальчик катался n сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. Число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовём длиной перехода. При каких n за n сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех n – 1  переходов различны и меньше n?

   Решение

Страница: << 100 101 102 103 104 105 106 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65143

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 6,7

Незнайка хочет записать по кругу 2015 натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел частное от деления большего на меньшее было простым числом. Знайка утверждает, что это невозможно. Прав ли Знайка?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65873

Темы:   [ Шахматная раскраска ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Квадратная коробка конфет разбита на 49 равных квадратных ячеек. В каждой ячейке лежит шоколадная конфета – либо чёрная, либо белая. За один присест Саша может съесть две конфеты, если они одного цвета и лежат в соседних по стороне или по углу ячейках. Какое наибольшее количество конфет гарантированно может съесть Саша, как бы ни лежали конфеты в коробке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66006

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Дан многочлен  f(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx.  Известно, что каждое из уравнений  f(x) = 1  и  f(x) = 2  имеет четыре корня. Докажите, что если для корней первого уравнения выполняется равенство  x₁ + x₂ = x₃ + x₄,  то и для корней второго уравнения выполняется аналогичное равенство.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66028

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, кратным 2¹⁰⁰⁰⁰. Докажите, что число, кратное 2¹⁰⁰⁰⁰, было на одной из карточек уже через день после начала.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78171

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Обход графов ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Можно ли расположить все трёхзначные числа, не оканчивающиеся нулями, в последовательности так, чтобы последняя цифра каждого числа была равна первой цифре следующего за ним?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 100 101 102 103 104 105 106 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями