Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73715

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Логарифмические неравенства ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 8+ Классы: 10,11

Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное число n, а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что n не меньше x» (число x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной стратегии T второго игрока сопоставим функцию f_T(n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано число n. Пусть, например, стратегия T состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что n не меньше 10?», «верно ли, что n не меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, что n не меньше 10(k + 1)» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, что n не меньше 10k + 1», «верно ли, что n не меньше 10k + 2» и так далее. Тогда f_T(n) = a + 2 + ^{(n – a)}/₁₀, где a — последняя цифра числа n, то есть f_T(n) растёт примерно как ⁿ/₁₀.

а) Предложите стратегию, для которой функция f_T растёт медленнее.

б) Сравнивая две стратегии, удобно для произвольной стратегии Т вместо функции f_T ввести функцию f_T, значение которой для любого натурального числа n равно наибольшему из чисел f_T(k), где k пробегает значения от 1 до n. Оцените снизу f_T для произвольной стратегии T.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60896

Темы:   [ Текстовые задачи (прочее) ] [ Итерации ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся. Остальные летели дальше. Все гуси сели на n озерах.
Сколько всего гусей было в стае?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98396

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

а) На доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. После семи таких операций на доске будет только одно число. Может ли оно равняться 97?
б) На доске выписаны числа 1, 2¹, 2², 2³, ..., 2¹⁰. Разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. После нескольких таких операций на доске будет только одно число. Чему оно может быть равно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60555

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть представление числа n в двоичной системе выглядит следующим образом:   n = 2^e₁ + 2^e₂ +...+ 2^e_r   (e₁ > e₂ > ... > e_r ≥ 0).
Докажите, что n! делится на 2^n–r, но не делится на 2^n–r+1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66096

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Сочетания и размещения ] [ Двоичная система счисления ] [ Троичная система счисления ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Детектив Ниро Вульф расследует преступление. В деле замешаны 80 человек, среди которых один – преступник, еще один – свидетель преступления (но неизвестно, кто это). Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких из этих 80 человек, и если среди приглашенных есть свидетель, но нет преступника, то свидетель сообщит, кто преступник. Может ли детектив заведомо раскрыть дело за 12 дней?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями