Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 54]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число.
(Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число
(не пересекающих друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
Король решил поощрить группу из $n$ мудрецов. Их поставят в ряд друг за другом (чтобы все смотрели в одном направлении), на каждого наденут чёрную или белую шляпу. Каждый будет видеть шляпы всех впереди стоящих. Мудрецы по очереди (от последнего к первому) назовут цвет (белый или чёрный) и натуральное число по своему выбору. В конце подсчитывается число мудрецов, которые назвали цвет, совпадающий с цветом своей шляпы: ровно столько дней всей группе будут платить надбавку к жалованью. Мудрецам разрешили договориться заранее, как отвечать. При этом мудрецы знают, что ровно $k$ из них безумны (кто именно – им неизвестно). Безумный мудрец называет белый или чёрный цвет и число вне зависимости от договорённостей. Какое максимальное число дней с надбавкой к жалованью могут гарантировать группе мудрецы, независимо от местонахождения безумных в очереди?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Определим последовательности чисел (xn) и
(dn) условиями x1 = 1, xn+1 = [ 
], dn = x2n+1 – 2x2n–1 (n ≥ 1).
Докажите, что число 
в двоичной системе счисления представляется в виде (d1,d2d3...)2.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11
|
По заданному ненулевому
x значение
x8 можно найти за три арифметических действия:
x2 = x · x, x4 = x2 · x2, x8 = x4 · x4,
а
x15 — за пять действий: первые
три — те же самые, затем
x8 · x8 = x16 и
x16 : x = x16. Докажите, что
а) x16 можно найти за 12 действий (умножений и делений);
б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log2n действий.
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 54]
Фильтр
