Версия для печати
Убрать все задачи

---

На стороне BC остроугольного треугольника ABC взята точка K. Биссектриса угла CAK вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L. Докажите, что если прямая LK перпендикулярна отрезку AB, то либо  AK = KB,  либо  AK = AC.

   Решение

---

Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то  n ≤ 4.

   Решение

---

Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Из вершин A, B, C, D опущены перпендикуляры AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ на прямые SC, SD, SA, SB соответственно. Оказалось, что точки S, A₁, B₁, C₁, D₁ различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат в одной плоскости.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 161]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98370

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Шахматная раскраска ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На клетчатой доске 5×5 расставили максимальное число шахматных коней так, чтобы они не били друг друга.
Докажите, что такая расстановка единственна.

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98498

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Рассматривается доска 8×8, клетки которой пока не окрашены. Сколькими способами можно раскрасить доску в чёрный и белый цвета так, чтобы чёрных клеток было 31 и никакие две чёрные клетки не имели общей стороны? (Два способа раскраски считаются различными, если найдётся клетка, которая при одном из этих способах раскраски белая, а при другом – чёрная.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98541

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

На полях A, B и C в левом нижнем углу шахматной доски стоят белые ладьи (см. рис.). Разрешается делать ходы по обычным правилам, однако после любого хода каждая ладья должна быть под защитой какой-нибудь другой ладьи. Можно ли за несколько ходов переставить ладьи так, чтобы каждая попала на обозначенное той же буквой поле в правом верхнем углу?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98567

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Выигрышные и проигрышные позиции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На клетчатой доске размером 23×23 клетки стоят четыре фишки: в левом нижнем и в правом верхнем углах доски – по белой фишке, а в левом верхнем и в правом нижнем углах - по чёрной. Белые и чёрные фишки ходят по очереди, начинают белые. Каждым ходом одна из фишек сдвигается на любую соседнюю (по стороне) свободную клетку. Белые фишки стремятся попасть в две соседние по стороне клетки. Могут ли чёрные им помешать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102881

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Четность и нечетность ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Докажите, что число способов расставить на шахматной доске максимальное число ферзей чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 161]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями