ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

Вниз   Решение


Автор: Шноль Д.Э.

Разрежьте какой-нибудь квадрат на квадратики двух разных размеров так, чтобы маленьких было столько же, сколько и больших.

ВверхВниз   Решение


Из точки K, находящейся вне окружности с центром O, проведены две касательные KL и KM (L и M — точки касания). Отрезок KO пересекается с окружностью в точке N и с отрезком LM в точке P. Прямая MN пересекает отрезок KL в точке Q. Известно, что площади треугольников KNO и LNP равны. Найдите отношение длин отрезков KM и MN.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что число $ \sqrt{2}$ + $ \sqrt{3}$ + $ \sqrt{5}$ + $ \sqrt{7}$ + $ \sqrt{11}$ + $ \sqrt{13}$ + $ \sqrt{17}$ иррационально.

ВверхВниз   Решение


От двух кусков сплавов (с различным содержанием свинца) массой в 6 и 12 кг отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Каковы массы каждого из отрезанных кусков?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



Задача 67330

Темы:   [ Задачи на смеси и концентрации ]
[ Дроби (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

По мнению Тани, в идеальном кофейном напитке должно быть ровно в 9 раз больше кофе, чем молока. У Глеба есть стакан и кружка, а также целая цистерна молока и огромная турка с неограниченным запасом кофе. Аккуратный Глеб может отпить ровно половину содержимого кружки или стакана. Как Глебу приготовить для Тани целый стакан идеального кофейного напитка, если точный объём кружки неизвестен, но он как минимум на $10\%$ больше объёма стакана? Глеб может наливать кофе и молоко в стакан или в кружку, может выливать содержимое, переливать из кружки в стакан или наоборот, отпивать половину содержимого любое конечное количество раз.
Прислать комментарий     Решение


Задача 98662

Темы:   [ Задачи на смеси и концентрации ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
Сложность: 3
Классы: 6,7

Автор: Ботин Д.А.

Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе.
Сколько человек в семье?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108977

Тема:   [ Задачи на смеси и концентрации ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Сплав из золота и серебра массой 13 кг 850 г при полном погружении в воду вытеснил 900 г воды. Определить количество золота и серебра в этом сплаве, если известно, что плотность золота равна 19,3 кг/дм3, а серебра – 10,5 кг/дм3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109009

Тема:   [ Задачи на смеси и концентрации ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

От двух кусков сплавов (с различным содержанием свинца) массой в 6 и 12 кг отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Каковы массы каждого из отрезанных кусков?

Прислать комментарий     Решение

Задача 35739

Темы:   [ Задачи на смеси и концентрации ]
[ Инварианты и полуинварианты ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Имеется два стакана, в первом стакане налито некоторое количество воды, а во втором – такое же количество спирта. Разрешается переливать некоторое количество жидкости из одного стакана в другой (при этом раствор равномерно перемешивается). Можно ли с помощью таких операций получить в первом стакане раствор, в котором процентное содержание спирта больше, чем во втором?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам