Версия для печати
Убрать все задачи

---

N друзей одновременно узнали N новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.
Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.
Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая:
  а)  N = 64,
  б)  N = 55,
  в)  N = 100.

   Решение

---

Докажите, что при  n ≥ 6  правильный (n–1)-угольник нельзя так вписать в правильный n-угольник, чтобы на всех сторонах n-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (n–1)-угольника.

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике ABC  ∠ABC = 20°.  На равных сторонах CB и AB взяты соответственно точки P и Q так, что  ∠PAC = 50°  и  ∠QCA = 60°.
Докажите, что  ∠PQC = 30°.

   Решение

---

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2², ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение  x² – S(A)x + S(B) = 0,  где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66202

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Итерации ] [ Двоичная система счисления ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Дано иррациональное число α,  0 < α < ½.  По нему определяется новое число α₁ как меньшее из двух чисел 2α и  1 – 2α.  По этому числу аналогично определяется α₂, и так далее.
  а) Докажите, что  α_n < ³/₁₆  для некоторого n .
  б) Может ли случиться, что  α_n > ⁷/₄₀  при всех натуральных n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97774

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Комбинаторика (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

N друзей одновременно узнали N новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.
Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.
Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая:
  а)  N = 64,
  б)  N = 55,
  в)  N = 100.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109835

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2², ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение  x² – S(A)x + S(B) = 0,  где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66000

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Уравнения в целых числах ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Могут ли три различных числа вида  2ⁿ + 1,  где n – натуральное, быть последовательными членами геометрической прогрессии?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107817

Темы:   [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Уравнение плоскости ] [ Куб ] [ Двоичная система счисления ] [ Скалярное произведение ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В пространстве даны восемь параллельных плоскостей таких, что расстояния между каждыми двумя соседними равны. На каждой из плоскостей выбирается по точке. Могут ли выбранные точки оказаться вершинами куба.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями