-
Количество и сумма делителей числа
(51 задача)
Функция Эйлера
(24 задачи)
Функция Мебиуса
(1 задача)
Арифметические функции (прочее)
(3 задачи)
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
а) Электрическая схема имеет вид решётки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от любого узла к любому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться?
б) Тот же вопрос для решётки 7×7 (всего 64 узла).
РешениеОтрезок MN, параллельный стороне CD четырехугольника ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведенных из точек A и B параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и b. Докажите, что MN2 = (ab + c2)/2, где c = CD.
РешениеРасшифруйте ребус:
РешениеПридумайте какое-либо взаимно-однозначное соответствие между разбиениями натурального числа на различные и на нечётные слагаемые.
РешениеВ треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Точка $I$ – центр вписанной окружности, $M$ – середина $BC$. Прямая, проходящая через $M$ и параллельная $AI$, пересекает окружность с диаметром $BC$ в точках $E$ и $F$ (точки $A$ и $E$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BC$). Прямая, проходящая через $E$ и перпендикулярная $FI$, пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$. Найдите угол $PIQ$.
РешениеДокажите, что треугольник ABC является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на 60o (либо по часовой стрелке, либо против) относительно точки A вершина B переходит в C.
РешениеНайдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.
Решение
Задачи
Задача 109896 |
|
|
Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.
|
|
|
Решение |
Задача 116708 |
|
|
Существует ли натуральное число, у которого нечётное количество чётных натуральных делителей и чётное количество нечётных?
|
|
Решение |
Задача 60547[Теорема Эйлера] |
|
|
Докажите, что если n – чётное совершенное число, то оно имеет вид n = 2k–1(2k – 1), и p = 2k – 1 – простое число Мерсенна.
|
|
|
Решение |
Задача 60550[Задача Ферма] |
|
|
Найдите наименьшее число вида n = 2αpq, где p и q – некоторые нечётные простые числа, для которого σ(n) = 3n.
|
|
|
Решение |
Задача 60777 |
|
|
Докажите равенства:
а) φ(m) φ(n) = φ((m, n)) φ([m, n]);
б) φ(mn) φ((m, n)) = φ(m) φ(n) (m, n).
Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 79]
