Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Высоты AA1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка Q симметрична середине стороны AC относительно AA1. Точка P – середина отрезка A1C1. Докажите, что ∠QPH = 90°.
Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство a³ + b³ + 3abc > c³.
Пусть AH – высота остроугольного треугольника ABC, а точки K и L – проекции H на стороны AB и AC. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую KL в точках P и Q, а прямую AH – в точках A и T. Докажите, что точка H является центром вписанной окружности треугольника PQT.
Можно ли расставить охрану вокруг точечного объекта так, чтобы ни
к объекту, ни к часовым нельзя было незаметно подкрасться? (Каждый часовой
стоит неподвижно и видит на 100 м строго вперёд.)
При каких n > 3 правильный n-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?
Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов.
Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него
нет?
ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы AB за точку A взята точка D так, что AB = 2AD. Точки M и N на стороне AC таковы, что AM = NC. На продолжении стороны CB за точку B взята такая точка K, что CN = BK. Найдите угол между прямыми NK и DM.
Назовём усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений?
Известно, что корни уравнения x² + px + q = 0 – целые числа, а p и q – простые числа. Найдите p и q.
В треугольнике ABC известны стороны BC = a, AC = b, AB = c и площадь S. Биссектрисы BL и AK пересекаются в точке O. Найдите площадь четырёхугольника CKOL.
Докажите, что ни при каких натуральных значениях x и y число x8 – x7y + x6y² – ... – xy7 + y8 не является простым.
Задачи Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 201]
Задача 107740 |
|
|
Известно, что корни уравнения x² + px + q = 0 – целые числа, а p и q – простые числа. Найдите p и q.
|
|
Решение |
Задача 108743 |
|
|
Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.
|
|
Решение |
Задача 115998 |
|
|
Докажите, что ни при каких натуральных значениях x и y число x8 – x7y + x6y² – ... – xy7 + y8 не является простым.
|
|
|
Решение |
Задача 30605 |
|
|
Обозначим через k произведение нескольких (больше одного) первых простых чисел.
Докажите, что число а) k – 1; б) k + 1 не является точным квадратом.
|
|
|
Решение |
Задача 31256 |
|
|
Доказать, что n-е простое число больше 3n при n > 12.
|
|
|
Решение |
Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 201]
