Каталог по темам

Задачи

Страница: << 145 146 147 148 149 150 151 >> [Всего задач: 1110]

Задача 115356

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть S – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать S?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116213

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Bapat R.B.

В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a,
а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите, что a = b.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116229

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Bapat R.B.

В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма k наибольших чисел равна a, а в каждом столбце таблицы сумма k наибольших чисел равна b.
а) Докажите, что если k = 2, то a = b.
б) В случае k = 3 приведите пример такой таблицы, для которой a ≠ b.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78628

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и m > k, что m и n – k взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа a₁, ..., a_k, a_k+1, ..., a_m, a_m+1, ..., a_n. Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке: a_m+1, ..., a_n, a_k+1, ..., a_m, a₁, ..., a_k. В первую строчку записываются (по порядку) числа 1, 2, ..., n. Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73550

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Теория графов (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Квадратная таблица размером n×n заполнена неотрицательными числами так, что как сумма чисел каждой строки, так и сумма чисел каждого столбца равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 145 146 147 148 149 150 151 >> [Всего задач: 1110]