Версия для печати
Убрать все задачи
На боковых рёбрах
PA ,
PB ,
PC (или на их продолжениях)
треугольной пирамиды
PABC взяты точки
M ,
N ,
K соответственно.
Докажите, что отношение объёмов пирамид
PMNK и
PABC равно
· 
· 
.
Решение
На плоскости нарисованы n > 2 различных векторов
a1, a2, ..., an с равными длинами. Оказалось, что все векторы –a1 + a2 + ... + an,
a1 – a2 + a3 + ... + an, a1 + a2 + ... + an–1 – an также имеют равные длины. Докажите, что a1 + a2 + ... + an = 0.
Решение
Дана бесконечная последовательность многочленов P1(x), P2(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций f1(x), f2(x), ..., fN(x), композициями которых можно записать любой из них (например, P1(x) = f2(f1(f2(x))))?
Решение
Точка
M принадлежит ребру
CD параллелепипеда
ABCDA1
B1
C1
D1
,
причём
CM:MD = 1
:2
. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точку
M параллельно прямым
DB и
AC1
. В каком
отношении эта плоскость делит диагональ
A1
C параллелепипеда?
Решение
Две окружности, пересекающиеся в точке
A, касаются окружности (или
прямой)
S1 в точках
B1 и
C1, а окружности (или прямой)
S2
в точках
B2 и
C2 (причем касание в
B2 и
C2 такое же,
как в
B1 и
C1). Докажите, что окружности, описанные вокруг
треугольников
AB1C1 и
AB2C2, касаются друг друга.
Решение
Биссектриса внешнего угла при вершине
C треугольника
ABC
пересекает описанную окружность в точке
D. Докажите, что
AD =
BD.
Решение
В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этом классе), 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?
Решение
Фильтр
