Страница:
<< 112 113 114 115
116 117 118 >> [Всего задач: 632]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда
окрашена в тот же цвет.
б) При каких N такая раскраска возможна?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Дано натуральное число $n$. Натуральное число $m$ назовём
удачным, если найдутся $m$ последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме $n$ следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Двое играют в такую игру. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички. Выигрывает тот, у кого в конце
игры – после того, как все спички будут разобраны, – окажется чётное число спичек.
а) Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его партнёр? Как он должен играть, чтобы выиграть?
б) Как изменится ответ, если считать, что выигрывает забравший нечётное число спичек?
в) Исследуйте эту игру в общем случае, когда спичек 2n + 1 и разрешено брать любое число спичек от 1 до m.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
В одной из вершин а) октаэдра; б) куба сидит муха. Может ли она проползти по всем его рёбрам ровно по одному разу и возвратиться в исходную вершину?
Какую наименьшую сумму цифр может иметь число вида 3n² + n + 1 при натуральном n?
Страница:
<< 112 113 114 115
116 117 118 >> [Всего задач: 632]
Фильтр
Решение 
