Версия для печати
Убрать все задачи

---

В выпуклый четырехугольник $ABCD$ вписаны два параллелограмма $KL_1M_1N_1$ и $KL_2M_2N_2$ так, что $K$ – середина $AB$, а $L_1$, $M_1$, $N_1$ и $L_2$, $M_2$, $N_2$ лежат на сторонах $BC$, $CD$, $DA$ соответственно. Может ли оказаться, что площадь одного параллелограмма меньше половины площади четырехугольника, а площадь другого больше?

   Решение

---

Докажите, что при умножении многочлена  (x + 1)^n–1  на любой многочлен, отличный от нуля, получается многочлен, имеющий не менее n отличных от нуля коэффициентов.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35154

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Вычисление производной ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите, что при умножении многочлена  (x + 1)^n–1  на любой многочлен, отличный от нуля, получается многочлен, имеющий не менее n отличных от нуля коэффициентов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66883

Тема:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен $x^n - a x^{n-1} + bx^{n-2} + \ldots $ имеет $n$ натуральных корней, то на плоскости найдутся $a$ прямых, у которых ровно $b$ точек пересечения друг с другом. Не ошибается ли барон?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97973

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

P(х) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что числа 1 и 2 являются его корнями. Докажите, что найдётся коэффициент, который меньше –1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109881

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Производная и кратные корни ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110149

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Процессы и операции ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть многочлен  P(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₀  имеет хотя бы один действительный корень и  a₀ ≠ 0.  Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи P(x), можно получить из него число a₀ так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями