Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Преобразования плоскости >> Движения
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 22 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Спивак А.В.

Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых – целое число метров.
Верно ли, что периметр исходного прямоугольника – тоже целое число метров?

Вниз   Решение

Через центр квадрата проведены две перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата образуют квадрат.

ВверхВниз   Решение

Автор: Гуревич Г.А.

В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:
  а) набор цифр 1234; 3269;   б) вторично набор 1975;   в) набор 8197?

ВверхВниз   Решение

Последовательность чисел x0, x1, x2,...задается условиями

x0 = 1,        xn + 1 = axn    (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a?

ВверхВниз   Решение

На клетчатой бумаге нарисована фигура (см. рис. 1): в верхнем ряду — одна клеточка, во втором сверху — три клеточки, в следующем ряду — 5 клеточек, и т.д., всего рядов — n. Докажите, что общее число клеточек есть квадрат некоторого числа. 
                                     _
                                   _|_|_
                                 _|_|_|_|_
                               _|_|_|_|_|_|_
                              |_|_|_|_|_|_|_|
                           .....................
                         _ _ _ _           _ _ _ _
                        |_|_|_|_| ....... |_|_|_|_|
Рис. 1

ВверхВниз   Решение

В выпуклом пятиугольнике ABCDE A= B= D=90o . Найдите угол ADB , если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.

ВверхВниз   Решение

Сколько осей симметрии может быть у треугольника?

ВверхВниз   Решение

Вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC касается гипотенузы AB в точке P, CH – высота треугольника ABC.
Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ACH лежит на перпендикуляре, опущенном из точки P на AC.

ВверхВниз   Решение

В доску вбито 20 гвоздиков (см. рисунок). Расстояние между любыми соседними равно 1 дюйму. Натяните нитку длиной 19 дюймов от первого гвоздика до второго так, чтобы она прошла через все гвоздики.

ВверхВниз   Решение

Автор: Филимонов В.П.

Точки A' , B' и C' "– середины сторон BC , CA и AB треугольника ABC соответственно, а BH "– его высота. Докажите, что если описанные около треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M , отличную от H , то ABM= CBB' .

ВверхВниз   Решение

Автор: Голенищева-Кутузова Т.И.

У Юры есть калькулятор, который позволяет умножать число на 3, прибавлять к числу 3 или (если число делится на 3 нацело) делить на 3. Как на этом калькуляторе получить из числа 1 число 11?

ВверхВниз   Решение

Квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник, причём одна вершина квадрата расположена на гипотенузе, противоположная ей вершина совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а остальные лежат на катетах. Найдите сторону квадрата, если катет треугольника равен a.

ВверхВниз   Решение

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K. Отрезок CK пересекает медиану AM треугольника в точке P. Оказалось, что  AK = AP.
Найдите отношение  BK : PM.

ВверхВниз   Решение

В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности: а) набор цифр 1234; 3269; б) вторично набор 1975?

ВверхВниз   Решение

Автор: Анджанс А.

Числовая последовательность определяется условиями:    
Докажите, что среди членов этой последовательности бесконечно много полных квадратов.  

ВверхВниз   Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Выпуклый многоугольник описан около окружности. Точки касания его сторон с окружностью образуют многоугольник с таким же набором углов (порядок углов может быть другим). Верно ли, что многоугольник правильный?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что бесконечная сумма

  0, 1
+ 0, 01
+ 0, 002
+ 0, 0003
+ 0, 00005
+ 0, 000008
+ 0, 0000013
  ...

сходится к рациональному числу.

ВверхВниз   Решение

В равнобедренный треугольник ABC  (AB = BC)  вписана окружность. Прямая, параллельная стороне BC и касающаяся окружности, пересекает сторону AB в такой точке N такой, что  AN = ⅜ AB.  Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 12.

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O . Точки C' , D' симметричны ортоцентрам треугольников ABD и ABC относительно O . Докажите, что если прямые BD и BD' симметричны относительно биссектрисы угла B , то прямые AC и AC' симметричны относительно биссектрисы угла A .

ВверхВниз   Решение

Дана четвёрка ненулевых чисел a, b, c, d. Из неё получается новая ab, bc, cd, da по следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д. Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится вновь четверка a, b, c, d, кроме случая, когда a = b = c = d = 1.

ВверхВниз   Решение

Автор: Косухин О.Н.

Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?

ВверхВниз   Решение

Может ли бильярдный шар, отразившись поочередно от двух соседних сторон прямоугольного бильярдного стола, прийти в исходную точку?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1026]      

  с решениями  

Задача 57918

Тема:   [ Поворот (прочее) ]
Сложность: 2-
Классы: 9

Через центр квадрата проведены две перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата образуют квадрат.
Прислать комментарий     Решение

Задача 87952

Темы:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Разрезания (прочее) ]
Сложность: 2-
Классы: 5,6,7

На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?
Прислать комментарий     Решение

Задача 57944

Тема:   [ Поворот (прочее) ]
Сложность: 2
Классы: 9

Докажите, что при повороте на угол $ \alpha$ с центром в начале координат точка с координатами (x, y) переходит в точку

(x cos$\displaystyle \alpha$ - y sin$\displaystyle \alpha$, x sin$\displaystyle \alpha$ + y cos$\displaystyle \alpha$).


Прислать комментарий     Решение

Задача 35530

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Может ли бильярдный шар, отразившись поочередно от двух соседних сторон прямоугольного бильярдного стола, прийти в исходную точку?

Прислать комментарий     Решение

Задача 35633

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Биссектриса угла ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Сколько осей симметрии может быть у треугольника?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1026]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .