Сходимость итерационного процесса. Предположим, что функция f (x) отображает отрезок [a;b] в себя, и на этом отрезке | f'(x)| q < 1. Докажите, что уравнение f (x) = x имеет на отрезке [a;b] единственный корень x*. Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:

| x_{n + 1} - x_n| | x₁ - x₀| ^. qⁿ,    | x* - x_n| | x₁ - x₀| ^. .

   Решение

Найти последнюю цифру числа  7¹⁹⁸⁸ + 9¹⁹⁸⁸.

   Решение

Доказать, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны h₁, h₂, h₃, то объём тетраэдра не меньше, чем h₁h₂h₃/3.

   Решение

В угол вписаны три окружности $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$ (радиус $\Gamma_1$ наименьший, а радиус $\Gamma_3$ наибольший), притом $\Gamma_2$ касается $\Gamma_1$ и $\Gamma_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $l$ – касательная в точке $A$ к $\Gamma_1$. Рассмотрим все окружности $\omega$, касающиеся $\Gamma_1$ и $l$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей $\omega$ и $\Gamma_3$.

   Решение

Внутри квадрата со стороной 1 расположено n² точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая все эти точки, длина которой не превосходит 2n.

   Решение

Проекцией точки A из точки O на плоскость P называется точка A', в которой прямая OA пересекает плоскость P. Проекцией треугольника называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может быть проекция треугольника, если точка O не лежит в его плоскости?

   Решение

Точки P , Q , R и S расположены в пространстве так, что середины отрезков SQ и PR лежат на сфере радиуса a , а отрезки PS , PQ , QR и SR делятся сферой на три части в отношении 1:2:1 каждый. Найдите расстояние от точки P до прямой QR .

   Решение

Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

   Решение

Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую, на которой три данные прямые высекают равные отрезки.

   Решение

Имеется два набора чисел  a₁ > a₂ > ... > a_n  и  b₁ > b₂ > ... > b_n.  Доказать, что  a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n > a₁b_n + a₂b_n–1 + ... + a_nb₁.

   Решение

Найдите остаток от деления 2¹⁰⁰ на 101.

   Решение

Постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной окружности (или прямой).

   Решение

Высоты треугольника ABC, проведённые из вершин A и C, пересекаются в точке M. Найдите ∠AMC, если  ∠A = 70°,  ∠C = 80°.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 240]      

Существует ли треугольник, градусная мера каждого угла которого выражается простым числом?

Прислать комментарий

Решение

Углы треугольника относятся как  2 : 3 : 4.  Найдите отношение внешних углов треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Угол треугольника равен сумме двух других его углов. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

Через точку A , лежащую на окружности с центром O, проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BAC вдвое меньше угла BOC.

Прислать комментарий

Решение

Высоты треугольника ABC, проведённые из вершин A и C, пересекаются в точке M. Найдите ∠AMC, если  ∠A = 70°,  ∠C = 80°.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 240]