Вычислить с пятью десятичными знаками (то есть с точностью до 0,00001) произведение:  

   Решение

Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что R2r, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.

   Решение

Решите уравнение:  x(x + 1) = 2014·2015.

   Решение

Определить отношение двух чисел, если отношение их среднего арифметического к среднему геометрическому равно 25 : 24.

   Решение

Даны два набора векторов a₁,...,a_n и  b₁,...,b_m, причем сумма длин проекций векторов первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов второго набора на ту же прямую. Докажите, что сумма длин векторов первого набора не больше суммы длин векторов второго набора.

   Решение

Пусть M — центр масс n-угольника A₁...A_n; M₁,..., M_n — центры масс (n - 1)-угольников, полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A₁,..., A_n соответственно. Докажите, что многоугольники A₁...A_n и  M₁...M_n гомотетичны.

   Решение

Биссектриса угла A треугольника ABC продолжена до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).

   Решение

Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, выполнено неравенство  AB·CD + AC·BD > AD·BC.

   Решение

Докажите, что  rr_c c²/4.

   Решение

Известно, что если поверхность некоторого тетраэдра ABCD разрезать вдоль рёбер AD , BD и CD , то его развёрткой на плоскость ABC будет квадрат со стороной a . Найдите объём тетраэдра.

   Решение

На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.

   Решение

В треугольнике ABC взяли точку M так, что что радиусы описанных окружностей треугольников AMC, BMC и BMA не меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что все четыре радиуса равны.

   Решение

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M; P — произвольная точка. Прямая l_a проходит через точку A параллельно прямой PA₁; прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что:
а) прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке Q;
б) точка M лежит на отрезке PQ, причем PM : MQ = 1 : 2.

   Решение

В пространстве рассматриваются два отрезка AB и CD , не лежащие в одной плоскости. Пусть M и K – их середины. Докажите, что MK < (AD + BC) .

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум углам A, B и периметру P.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      

Постройте треугольник по двум углам A, B и периметру P.

Прислать комментарий

Решение

Постройте треугольник ABC по m_a, m_b и m_c.

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум углам A, B и периметру P.

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки через точку внутри угла проведите прямую, отсекающую от сторон этого угла отрезки, отношение которых равно данному.

Прислать комментарий

Решение

Постройте треугольник ABC по h_a, h_b и h_c.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]