Через концы диаметра окружности проведены две хорды, пересекающиеся на окружности и равные 12 и 16. Найдите расстояния от центра окружности до этих хорд.

   Решение

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Прямая $l \parallel AC$ пересекает прямые $AD, BC, AB, CD$ в точках $X, Y, Z, T$. Описанные окружности треугольников $XYB$ и $ZTB$ вторично пересекаются в точке $R$. Докажите, что $R$ лежит на прямой $BD$.

   Решение

Дан острый угол с вершиной A и точка E внутри него. Построить на сторонах угла точки B, C так, чтобы E была центром окружности Эйлера треугольника ABC.

   Решение

Угол при основании равнобедренного треугольника равен . Найдите отношение радиуса вписанной в данный треугольник окружности к радиусу описанной окружности.

   Решение

Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R h.

   Решение

Сторона AD параллелограмма ABCD разделена на n равных частей. Первая точка деления P соединена с вершиной B.
Доказать, что прямая BP отсекает на диагонали AC часть AQ, которая равна ¹/_n+1 части диагонали:  AQ = ^AC/_n+1.

   Решение

Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны углы:  ∠DAB = α,  ∠ABC = β,  ∠BKC = γ,  где K – точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD.

   Решение

Многочлен  $P(x, y)$  таков, что для всякого целого  $n\geqslant 0$  каждый из многочленов  $P(n, y)$  и  $P(x, n)$  либо тождественно равен нулю, либо имеет степень не выше $n$.
Может ли многочлен  $P(x, x)$ иметь нечётную степень?

   Решение

Из вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что  ∠ABM = ∠CBN.  Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что  AC' = A'C.

   Решение

Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ромба ABCD и обладающих тем свойством, что  ∠AMD + ∠BMC = 180°.

   Решение

Пусть P(x) – многочлен степени  n ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа    также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

   Решение

В плоскости даны две прямые. Найти геометрическое место точек, разность расстояний которых от этих прямых равна заданному отрезку.

   Решение

Три окружности попарно пересекаются в точках A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. Докажите, что A₁B₂ ^. B₁C₂ ^. C₁A₂ = A₂B₁ ^. B₂C₁ ^. C₂A₁.

   Решение

Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, пересекающиеся в точке $A$, и прямая $a$. Пусть $BC$ – произвольная хорда окружности $\omega_2$, параллельная $a$, а $E$ и $F$ – вторые точки пересечения прямых $AB$ и $AC$ с $\omega_1$. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $BC$ и $EF$.

   Решение

Точка O лежит на отрезке AC. Найдите геометрическое место точек M, для которых  ∠MOC = 2∠MAC.

   Решение

Постройте треугольник по медиане и двум углам.

   Решение

а) Числа a, b, c являются тремя из четырёх корней многочлена  x⁴ – ax³ – bx + c.  Найдите все такие многочлены.
б) Числа a, b, c являются корнями многочлена  x⁴ – ax³ – bx + c.  Найдите все такие многочлены.

   Решение

Пусть $X$ — некоторая фиксированная точка на стороне $AC$ треугольника $ABC$ ($X$ отлична от $A$ и $C$). Произвольная окружность, проходящая через $X$ и $B$, пересекает отрезок $AC$ и описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$, отличных от $X$ и $B$. Докажите, что все возможные прямые $PQ$ проходят через одну точку.

   Решение

При помощи метода неопределенных коэффициентов найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство
P(x)(x² – 3x + 2) + Q(x)(x² + x + 1) = 21.

   Решение

Выпуклый n-угольник разрезан на три выпуклых многоугольника. У одного из них n сторон, у другого – больше чем n, у третьего – меньше чем n.
Каковы возможные значения n?

   Решение

В выпуклом n-угольнике проведено несколько диагоналей. Проведённая диагональ называется хорошей, если она пересекается (по внутренним точкам) ровно с одной из других проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество хороших диагоналей.

   Решение

Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении  1 : 2.

   Решение

Постройте прямоугольный треугольник по отношению его катетов и высоте, опущенной на гипотенузу.

   Решение

Через точку M пересечения двух окружностей проведите прямую, вторично пересекающую окружности в точках A и B соответственно, причём так, чтобы отрезок AB был равен заданному, а точка M оказалась между A и B (центры окружностей расположены по разные стороны от общей хорды).

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 92]      

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по радиусу описанной окружности, стороне и высоте, проведённой к другой стороне.

Прислать комментарий

Решение

Через точку M пересечения двух окружностей проведите прямую, вторично пересекающую окружности в точках A и B соответственно, причём так, чтобы отрезок AB был равен заданному, а точка M оказалась между A и B (центры окружностей расположены по разные стороны от общей хорды).

Прислать комментарий

Решение

Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по радиусу описанной окружности и высоте и медиане, проведённым из одной вершины.

Прислать комментарий

Решение

Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из одной вершины, и высоте, проведённой из другой вершины.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 92]