а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).

   Решение

Диагонали вписанно-описанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $L$. Даны три отрезка, равные $AL$, $BL$, $CL$. Восстановите четырехугольник с помощью циркуля и линейки.

   Решение

Два числа a и b получаются друг из друга перестановкой цифр. Чему равен цифровой корень (см. задачу 60794) числа  a – b?

   Решение

Докажите, что  l_a + l_b + m_c p.

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]      

Докажите, что  l_a + l_b + m_c p.

Прислать комментарий

Решение

Из высот остроугольного треугольника можно составить треугольник. Докажите, что из его биссектрис тоже можно составить треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что  AB + AC 2AD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]