Каталог по темам

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 239]

Задача 57739

Тема:

[

Псевдоскалярное произведение

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

В выпуклом пятиугольнике ABCDE, площадь которого равна S, площади треугольников ABC, BCD, CDE, DEA и EAB равны a, b, c, d и e. Докажите, что

S² - S(a + b + c + d + e) + ab + bc + cd + de + ea = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57708

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Из точки O выходит n векторов единичной длины, причем в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку O, содержится не менее k векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит n - 2k.

Прислать комментарий Решение

Задача 57727

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Внутри выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n взята точка O так, что $\overrightarrow{OA_1}$ +...+ $\overrightarrow{OA_n}$ = $\overrightarrow{0}$ . Пусть d = OA₁ +...+ OA_n. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d /n при n четном и не меньше 4dn/(n² - 1) при n нечетном.

Прислать комментарий Решение

Задача 57728

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна $\pi$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57729

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 239]