Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 237]

Задача 35079

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35233

Тема:

[

Обыкновенные дроби

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Числа a, b, p, q, r, s – натуральные, причём ^p/_q < ^a/_b < ^r/_s и qr – ps = 1. Докажите, что b ≥ q + s.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60603

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
Темы:	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть числа a и b определены равенством ^a/_b = [a₀; a₁, a₂, ..., a_n]. Докажите, что уравнение ax – by = 1 c неизвестными x и y имеет решением одну из пар (Q_n–1, P_n–1) или (– Q_n–1, – P_n–1), где ^P_n–1/_{Q_n–1} – (n–1)-я подходящая дробь. От чего зависит, какая именно из пар является решением?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60606

Тема:

[

Цепные (непрерывные) дроби

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что любое иррациональное число α допускает представление α = [a₀; a₁, ..., a_n–1, α_n], где a₀ – целое, a₁, a₂, ..., a_n–1 – натуральные, α_n > 1 – иррациональное действительное. Отсюда следует, что каждому иррациональному действительному числу можно поставить в соответствие бесконечную цепную дробь.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60608

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью α = [a₀; a₁, ..., a_n, ...]. Докажите, что где Q_k – знаменатели подходящих дробей.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 237]