ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Математический анализ >> Числовые последовательности >> Предел последовательности, сходимость
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Каспаров Г.А.

Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для каждой группы команд можно найти команду (может быть, из той же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение – 0 очков, ничья – 1 очко, выигрыш – 2 очка.)

Вниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Бумажный прямоугольный треугольник перегнули по прямой так, что вершина прямого угла совместилась с другой вершиной.
  а) В каком отношении делятся диагонали полученного четырёхугольника их точкой пересечения?
  б) Полученный четырёхугольник разрезали по диагонали, выходящей из третьей вершины исходного треугольника. Найти площадь наименьшего образовавшегося куска бумаги.

ВверхВниз   Решение

Автор: Анджанс А.

Внутри правильного n-угольника взята точка, проекции которой на все стороны попадают во внутренние точки сторон. Этими точками стороны разделяются на 2n отрезков. Занумеруем их подряд:  1, 2, 3, ..., 2n.  Доказать, что сумма длин отрезков с чётными номерами равна сумме длин отрезков с нечётными номерами.

ВверхВниз   Решение

Итерационная формула Герона. Докажите, что последовательность чисел {xn}, заданная условиями

x1 = 1,        xn + 1 = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{k}{x_n}}\right.$xn + $\displaystyle {\frac{k}{x_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{k}{x_n}}\right)$,

сходится. Найдите предел этой последовательности.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      

  с решениями  

Задача 61304

Темы:   [ Предел последовательности, сходимость ]
[ Непрерывные функции (общие свойства) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Метод итераций. Для того, чтобы приближенно решить уравнение, допускающее запись f (x) = x, применяется метод итераций. Сначала выбирается некоторое число x0, а затем строится последовательность {xn} по правилу xn + 1 = f (xn) (n $ \geqslant$ 0). Докажите, что если эта последовательность имеет предел x* = $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$xn, и функция f (x) непрерывна, то этот предел является корнем исходного уравнения: f (x*) = x*.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61308

Тема:   [ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Числа a1, a2, ..., ak таковы, что равенство

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$(xn + a1xn - 1 +...+ akxn - k) = 0

возможно только для тех последовательностей {xn}, для которых $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$xn = 0. Докажите, что все корни многочлена

P($\displaystyle \lambda$) = $\displaystyle \lambda^{k}_{}$ + a1$\displaystyle \lambda^{k-1}_{}$ + a2$\displaystyle \lambda^{k-2}_{}$ +...+ ak

по модулю меньше 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61297

Темы:   [ Предел последовательности, сходимость ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Вавилонский алгоритм вычисления $ \sqrt{2}$. Последовательность чисел {xn} задана условиями:

x1 = 1,        xn + 1 = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right.$xn + $\displaystyle {\frac{2}{x_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right)$        (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите, что $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$xn = $ \sqrt{2}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61298

Темы:   [ Предел последовательности, сходимость ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

К чему будет стремиться последовательность из предыдущей задачи 9.46, если в качестве начального условия выбрать x1 = - 1?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61299

Темы:   [ Предел последовательности, сходимость ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Итерационная формула Герона. Докажите, что последовательность чисел {xn}, заданная условиями

x1 = 1,        xn + 1 = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{k}{x_n}}\right.$xn + $\displaystyle {\frac{k}{x_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{k}{x_n}}\right)$,

сходится. Найдите предел этой последовательности.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .