Страница:
<< 2 3 4 5 6 7
8 >> [Всего задач: 37]
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
По случаю начала зимних каникул все мальчики из 8 "В" пошли в тир. Известно, что в 8 "В" n мальчиков. В тире, куда пришли ребята, n мишеней. Каждый из мальчиков случайным образом выбирает себе мишень, при этом некоторые ребята могли выбрать одну и ту же мишень. После этого все одновременно делают залп по своим мишеням. Известно, что каждый из мальчиков попал в свою мишень. Мишень считается поражённой, если в нее попал хоть один мальчик.
а) Найти среднее количество поражённых мишеней.
б) Может ли среднее количество поражённых мишеней быть меньше n/2?
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Хозяин обещает работнику платить в среднем рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального n выплаченная за первые n дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
В трапеции
ABCD с основаниями
AB = a и
CD = b проведён отрезок
A1B1, соединяющий середины диагоналей.
В полученной трапеции проведён отрезок
A2B2, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков
AB,
A1B1,
A2B2,... какое-то число встретиться дважды? Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?
|
|
Сложность: 6 Классы: 10,11
|
Для заданных натуральных чисел
k0<k1<k2 выясните,
какое наименьшее число корней на промежутке [0; 2π) может иметь
уравнение вида
sin(k0x)+A1·sin(k1x)
+A2·sin(k2x)=0
где
A1,
A2 – вещественные числа.
|
|
Сложность: 8+ Классы: 10,11
|
Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное
число n, а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что
n не
меньше x» (число x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной
стратегии T второго игрока сопоставим функцию
fT(
n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано
число n. Пусть, например,
стратегия T состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что
n не меньше 10?», «верно ли, что
n не меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, что
n не меньше 10(
k + 1)» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, что
n не меньше
10k + 1», «верно ли, что
n не меньше
10k + 2» и так далее. Тогда
fT(n) = a + 2 + (n – a)/10, где
a — последняя цифра
числа n, то есть
fT(
n) растёт примерно
как n/10.
а) Предложите стратегию, для которой функция fT растёт медленнее.
б) Сравнивая две стратегии, удобно для произвольной стратегии Т вместо функции fT ввести функцию fT, значение которой для любого натурального числа n равно наибольшему из чисел fT(k), где k пробегает значения от 1 до n. Оцените снизу fT для произвольной стратегии T.
Страница:
<< 2 3 4 5 6 7
8 >> [Всего задач: 37]