Версия для печати
Убрать все задачи

---

Цифры 0, 1, ..., 9 разбиты на несколько непересекающихся групп. Из цифр каждой группы составляются всевозможные числа, для записи каждого из которых все цифры группы используются ровно один раз (учитываются и записи, начинающиеся с нуля). Все полученные числа расположили в порядке возрастания и k-му числу поставили в соответствие k-ю букву алфавита АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ. Оказалось, что каждой букве соответствует число и каждому числу соответствует некоторая буква. Шифрование сообщения осуществляется заменой каждой буквы соответствующим ей числом. Если ненулевое число начинается с нуля, то при шифровании этот нуль не выписывается. Восстановите сообщение 873146507381 и укажите таблицу замены букв числами.

   Решение

---

Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а сторону BC – в точке M. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.

   Решение

---

Дан угол ABC и прямая l . Параллельно прямой l с помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой стороны угла ABC высекают отрезок, равный данному.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠B = 90°)  проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H₁, B₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H₂, B₂ соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H₁BH₂. Докажите, что  OB₁ = OB₂.

   Решение

---

На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу AB в точке K.
Найдите CK, если  AC = 2  и  ∠A = 30°.

   Решение

---

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

   Решение

---

Последовательность чисел {x_n} задана условиями:

Докажите, что последовательность {x_n} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61306

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Последовательность чисел {a_n} задана условиями

Верно ли, что эта последовательность ограничена?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66111

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a₁ – сумма исходных чисел, a₂ – сумма квадратов исходных чисел, a₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
  а) Могло ли случиться, что до a₅ последовательность убывает  (a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅),  а начиная с a₅ – возрастает  (a₅ < a₆ < a₇ < ...)?
  б) А могло ли случиться наоборот: до a₅ последовательность возрастает, а начиная с a₅ – убывает?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78589

Тема:   [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

При каком значении K величина A_k = максимальна?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61319

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Последовательность чисел {x_n} задана условиями:

Докажите, что последовательность {x_n} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67201

Тема:   [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дана строго возрастающая функция $f\colon \mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0$ (где $\mathbb{N}_0$ — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ для любых $m,n\in \mathbb{N}_0$. Найдите все значения, которые может принимать $f(2023)$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями