Каталог по темам

Задачи

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 233]

Задача 61235

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Обратные тригонометрические функции	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что числа Фибоначчи {F_n} удовлетворяют соотношению

arcctg F_2n - arcctg F_{2n + 2} = arcctg F_{2n + 1}.

(8.2)

Получите отсюда равенство

arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 +...+ arcctg F_{2n + 1} +...= $\displaystyle {\dfrac{\pi}{4}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61337

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Производная и касательная	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Последовательность чисел x₀, x₁, x₂,...задается условиями

x₀ = 1, x_{n + 1} = a^x_n (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61464

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Рассмотрим равенства:

2 + $\displaystyle \sqrt{3}$	=	$\displaystyle \sqrt{4}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ ,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ )²	=	$\displaystyle \sqrt{49}$ + $\displaystyle \sqrt{48}$ ,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ )³	=	$\displaystyle \sqrt{676}$ + $\displaystyle \sqrt{675}$ ,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ )⁴	=	$\displaystyle \sqrt{9409}$ + $\displaystyle \sqrt{9408}$ .

Обобщите результат наблюдения и докажите возникшие у вас догадки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78263

Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Дана четвёрка ненулевых чисел a, b, c, d. Из неё получается новая ab, bc, cd, da по следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д. Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится вновь четверка a, b, c, d, кроме случая, когда a = b = c = d = 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 109520

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Тамаркин Д.

Назовем усреднением последовательности a_k действительных чисел последовательность a'_k с общим членом a'_k= . Рассмотрим последовательности: a_k , a'_k – ее усреднение, a''_k – усреднение последовательности a'_k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность a_k – хорошая. Докажите, что если последовательность x_k – хорошая, то последовательность x_k² – тоже хорошая.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 233]