Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1134 1135 1136 1137 1138 1139 1140 >> [Всего задач: 21756]

Задача 61450

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Для многочлена f(x) = x³ – x найдите Δ²f(x).
Объясните, не применяя соображения делимости, почему f(x) делится на 6 при всех целых x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61465

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Докажите, что уравнение (x + y)⁴ + (z + t)⁴ = 2 + не имеет решений в рациональных числах.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61490

Тема:

[

Формальные степенные ряды

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть F(x) — производящая функция последовательности {a_n}. Докажите равенство $\left.\vphantom{a_n=\dfrac{F^{(n)}(x)}{n!}}\right.$ a_n = ${\dfrac{F^{(n)}(x)}{n!}}$ $\left.\vphantom{a_n=\dfrac{F^{(n)}(x)}{n!}}\right\vert _{x=0}^{}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61495

Темы:	[	Формальные степенные ряды	]
Темы:	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Докажите тождество:

(1 + x + x² +...+ x⁹)(1 + x¹⁰ + x²⁰ +...+ x⁹⁰)×

×(1 + x¹⁰⁰ + x²⁰⁰ +...+ x⁹⁰⁰)...= $\displaystyle {\dfrac{1}{1-x}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61511

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
Темы:	[	Правило произведения	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что каждое натуральное число n может быть 2^n–1 – 1 различными способами представлено в виде суммы меньших натуральных слагаемых, если два представления, отличающихся хотя бы порядком слагаемых, считать различными.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1134 1135 1136 1137 1138 1139 1140 >> [Всего задач: 21756]