Каталог по темам

Задачи

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 203]

Задача 73658

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Бешкарев В.П.

Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78796

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Можно ли каждую сторону квадрата так разделить на 100 частей, чтобы из полученных 400 отрезков нельзя было бы составить контура никакого прямоугольника, отличного от исходного квадрата?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116706

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Произведения и факториалы	]

Сложность: 5-
Классы: 11

Автор: Ушаков В. Г.

Обозначим через S(n, k) количество не делящихся на k коэффициентов разложения многочлена (x + 1)ⁿ по степеням x.
а) Найдите S(2012, 3).
б) Докажите, что S(2012²⁰¹¹, 2011) делится на 2012.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60754

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Произведения и факториалы	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Докажите, что для простого числа p вида 4k + 1 числа x = ± (2k)! являются решениями сравнения x² + 1 ≡ 0 (mod p).

Прислать комментарий

Решение

Задача 103769

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3-
Классы: 7

Зная, что число 1993 простое, выясните, существуют ли такие натуральные числа x и y, что
а) x² – y² = 1993;
б) x³ – y³ = 1993;
в) x⁴ – y⁴ = 1993?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 203]