Версия для печати
Убрать все задачи
В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги
сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над
другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение
таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться.
Доказать, что
а) волшебник может это сделать;
б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и
найдётся город, из которого нельзя выехать;
в) существует единственный путь, обходящий все города;
г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.
Решение
Дан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от
произвольной точки до его вершин не меньше
4
.
Решение
Решить в целых числах уравнение 2n + 7 = x².
Решение
Набор чисел
a0,
a1, ...,
an удовлетворяет условиям:
a0 = 0, 0 ≤
ak+1 –
ak ≤ 1 при
k = 0, 1, ...,
n – 1. Докажите неравенство
Решение
Целые ненулевые числа a1, a2, ..., an таковы, что равенство
выполнено при всех целых значениях
x, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.
a) Докажите, что число
n чётно.
б) При каком наименьшем
n такие числа существуют?
Решение
Докажите, что если все грани тетраэдра равны между собой,
то противоположные рёбра тетраэдра попарно равны.
Решение
а) Укажите два прямоугольных треугольника, из
которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь
которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины
сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник
можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными
сторонами.
Решение
Основание пирамиды
ABCD – треугольник
ABC со сторонами
AC = 6
,
BC = 8
,
AB = 10
. Все боковые рёбра равны
5
. Найдите
а) радиус сферы, описанной около пирамиды
ABCD ;
б) расстояние между прямыми
DM и
AC и расстояние прямыми
DM и
BC ,
где
DM – высота пирамиды
ABCD .
Решение
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Стереометрия
>>
Тетраэдр и пирамида
>>
Сфера, описанная около тетраэдра
