а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же.

б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?

   Решение

В треугольнике ABC  ∠A = 60°,  точки M и N на сторонах AB и AC соответственно таковы, что центр описанной окружности треугольника ABC делит отрезок MN пополам. Найдите отношение  AN : MB.

   Решение

Две окружности радиусов 1 и пересекаются в точке A. Расстояние между центрами окружностей равно 2. Хорда AC большей окружности пересекает меньшую окружность в точке B и делится этой точкой пополам. Найдите эту хорду.

   Решение

На рыбалке. Четыре друга пришли с рыбалки. Каждые двое сосчитали суммы своих уловов. Получилось шесть чисел: 7, 9, 14, 14, 19, 21. Сможете ли Вы узнать, каковы были уловы?

   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Хорда CD первой окружности имеет с хордой EF второй окружности общую точку M. Известно, что  BM = 2,  AB = 3CM = 9EM,  MD = 2CM,  MF = 6CM.  Какие значения может принимать длина отрезка AM?

   Решение

Из центра O окружности опущен перпендикуляр OA на прямую l. На прямой l взяты точки B и C так, что AB = AC. Через точки B и C проведены две секущие, первая из которых пересекает окружность в точках P и Q, а вторая — в точках M и N. Прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS.

   Решение

Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину B. Докажите, что медиана BE треугольника ABK и высота BF треугольника CBN лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)

   Решение

На продолжении стороны AC треугольника ABC отложен отрезок  CD = CB.  Докажите, что если  AC > BC,  то угол ABD – тупой.

   Решение

В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было четыре телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, восемь телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и три телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?

   Решение

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, пересекающая эти окружности соответственно в точках C₁ и C₂, отличных от A.
Докажите, что отрезок C₁C₂ виден из точки B под одним и тем же углом для любой прямой C₁C₂.

   Решение

В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

   Решение

Основанием пирамиды является треугольник ABC , в котором A = , AB = AC = 1 . Вершина D пирамиды равноудалена от точек A и B . Сфера касается ребра CD , продолжений рёбер AD , BD за точку D и плоскости ABC . Точка касания с плоскостью основания пирамиды и ортогональная проекция вершины D на эту плоскость лежат на окружности, описанной вокруг треугольника ABC . Найдите рёбра AD , BD , CD .

   Решение

Докажите, что     при x, y > 0.

   Решение

На основании AD трапеции ABCD взята точка  E так, что  AE = BC.  Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и P соответственно.
Докажите, что если  BO = PD,  то  AD² = BC² + AD·BC.

   Решение

На плоскости нарисованы два квадрата - ABCD и KLMN (их вершины перечислены против часовой стрелки). Докажите, что середины отрезков AK, BL, CM, DN также являются вершинами квадрата.

   Решение

Количество перестановок множества из n элементов обозначается P_n. Докажите равенство  P_n = n!.

   Решение

В четырёхугольнике ABCD углы A и B равны, а D > C. Докажите, что AD < BC.

   Решение

Сфера касается рёбер AS , CS , AB и BC треугольной пирамиды SABC в точках D , E , F и G соответственно. Найдите отрезок FG , если DE = DF = 8 , DG = 3 и FG на 2 больше, чем GE .

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

Основанием треугольной пирамиды ABCD является треугольник ABC , в котором A = , C = , BC = 2 . Рёбра AD , BD , CD равны между собой. Сфера радиуса 1 касается рёбер AD , BD , продолжения ребра CD за точку D и плоскости ABC . Найдите отрезок касательной, проведённой из точки A к сфере.

Прислать комментарий

Решение

Основанием пирамиды является треугольник ABC , в котором A = , AB = AC = 1 . Вершина D пирамиды равноудалена от точек A и B . Сфера касается ребра CD , продолжений рёбер AD , BD за точку D и плоскости ABC . Точка касания с плоскостью основания пирамиды и ортогональная проекция вершины D на эту плоскость лежат на окружности, описанной вокруг треугольника ABC . Найдите рёбра AD , BD , CD .

Прислать комментарий

Решение

Основанием пирамиды PQRS является прямоугольный треугольник PQR , в котором гипотенуза QR равна 2 и катет PQ равен 1. Рёбра PS , QS , RS равны между собой. Сфера радиуса касается ребра RS , продолжений рёбер PS , QS за точку S и плоскости PQR . Найдите отрезок касательной, проведённой к сфере из точки Q .

Прислать комментарий

Решение

Основанием пирамиды является треугольник PQR , в котором PR = 2 , Q = , R = . Вершина S пирамиды равноудалена от точек P и Q . Сфера касается рёбер PS , QS , продолжения ребра RS за точку S и плоскости PQR . Точка касания с плоскостью основания пирамиды и ортогональная проекция вершины S на эту плоскость лежат на окружности, описанной вокруг треугольника PQR . Найдите рёбра PS , QS , RS .

Прислать комментарий

Решение

Сфера касается рёбер AS , CS , AB и BC треугольной пирамиды SABC в точках D , E , F и G соответственно. Найдите отрезок FG , если DE = DF = 8 , DG = 3 и FG на 2 больше, чем GE .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]